Question

如图，已知F1,F2为双曲线x^2/a^2-y^2/b^2(a>0,b>0)的两个焦点，过F2作垂直于x轴的直线

如图，已知F1,F2为双曲线x^2/a^2-y^2/b^2(a>0,b>0)的两个焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且角PF1F2=30°，求双曲线的渐近线方程。

Answer 1

你好：
因为过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，所以点P的横坐标为c
代入方程中：c^2/a^2-y^2/b^2=1
因为：c^2=a^2+b^2
可得：(a^2+b^2)/a^2-y^2/b^2=1
解得：|y|=b^2/a
所以|PF2|=b^2/a
因为：|F1F2|=2c,且∠PF1F2=30°
所以有：|PF2|/|F1F2|=1：√3
即是：b^2/2ac=1/√3
(c^2-a^2)/2ac=1/√3
整理得到：(√3/2)(c/a-a/c)=1
因为e=c/a
所以得到方程：(√3/2)(e-1/e)=1
解得：e=-1/√3【舍去】或e=√3
所以c=√3*a 代入c^2=a^2+b^2
解得：b/a=√2
所以双曲线的渐近线方程为：y=±√2x
回答完毕，谢谢！