Question

如图所示，O，A，B三点不共线，向量OC=2向量OA，向量OD=3向量OB，设向量OA=a，向量OB=b,

①试用a,b表示向量OE
②设线段AB,OE,CD的中点分别为L，M，N，试证明L，M，N三点共线
不要用行列式。我没学

Answer 1

① OE＝OA+AE＝OA+tAD＝a+t（3b-a）＝（1-t）a+3tb

同理OE＝OB+sBC＝2sa+（1-s）b. 1-t＝2s, 3t＝1-s.消去s,t＝1/5

OE＝（4/5）a+（3/5）b.
②L＝（a+b）/2.OM＝（4/10）a+（3/10）b,ON＝（2a+3b）/2

行列式D＝
| 1/2 1/2 1|
|4/10 3/10 1|
|1 3/2 1|＝0. S⊿LMN＝0. L,M,N共线。

追问

抱歉，你写的二小问的解法我还没学。我才高一

Answer 2

设BE=mBC,DE=nDA (m,n都是常数）
BC=BO+OA=-b+2a
DA=-3b+a
DE-BE=DB
n(-3b+a)-m(-b+2a)=-2b
所以-3n+m=-2
n-2m=0
解得m=2/5,n=4/5
OE=OD+DE=3b+nDA=3b+4(-3b+a)/5=3b/5+4a/5
(2)用到一个性质：在三角形OAB中，边AB上一点C，有：OC=xOA+yOB ,x+y=1
OL=1/2OB+1/2OA=(a+b)/2
OM=OE/2=(3b+4a)/10
ON=(3b+2a)/2
在平面向量内，令OL=xOM+yON
(a+b)/2=(3xb+4xa)/10+(3yb+2ya)/2
1/2=3x/10+3y/2 (1)
1/2=4x/10+y (2)
解得y=x/5
x=5/6,y=1/6
x+y=1，所以共线

Answer 3

请问图在哪里？？

Answer 4

没有图啊！