Question

已知△ABC中，O为外心，I为内心，且AB+AC=2BC．求证：OI⊥AI（图

已知△ABC中，O为外心，I为内心，且AB+AC=2BC．求证：OI⊥AI（图）．
考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心．
专题：证明题．
因I是内心，故 ，AC/CE=AB/BE=AI/IE (AC+AB)/BE=AB/BE．又因AC+BC=2BC，故AB=2BE．由△ABE∽△ADC知AD=2DC．又DC=DI（内心性质），故AD=2DI．从而即可证明．解答：证明：∵I是内心，
∴ ，AC/CE=AB/BE=AI/IE (AC+AB)/BE=AB/BE ．
又∵AC+AB=2BC，
∴AB=2BE．由△ABE∽△ADC知AD=2DC．
又∵DC=DI（内心性质），
∴AD=2DI．

这是我查到的答案 但是初中的东西忘了呢很多 希望大家帮我一步一步分析下 麻烦了
插了几次图 都不显示

Answer 1

这是角平分线定义 如图 AD是角平分线则有AB/BE=AC/CE因为IC为角平分线 则有AC/AI=EC/EI
整理两式的AB/BE=/AC/CE=AI/IE 根据合分比定理 AB+AC/BE+CE=AC/CE=AB/BE
AB+AC=2BC BE+CE =BC所以AB/BE=2
因为三角形ABE相似三角形ADC 所以AD=2DCDC=2DI（内心性质）所以AD=2DI o为外心 所以OI垂直AI

Answer 2

mbw证明：

辅助线如图所示：
∵O为外心
∴∠AOB=2∠C=60°
∴△AOB为等边三角形

∵I为内心
∴∠IAB=∠IAE
又∵AB=AE
利用SAS可知：△IAB≌△IAE
同理可证：△IAB≌△IDB

∴∠EIA=∠DIB=∠AIB
=180°-(∠IAB+∠IBA)=180°-(∠CAB+∠CBA)/2
=180°-(180°-30°)/2=105°
∴∠EID=360°-3∠EIA=360°-3×105°=45°

∠EFD
=(∠AEO-∠ECF)+(∠BDI-∠DCF)=∠AEO+∠BDI-(∠ECF+∠DCF)
=(90°-∠EAO/2)+∠BAI-30°=60°+(∠BAE-∠EAO)/2
=60°+∠BAO/2=60°+30°
=90°

∴EO⊥DI
同理可知：DO⊥EI
∴O为△EID的垂心
∴IO⊥ED

∴∠OID+∠EDI=∠DEO+∠EDI=90°
∴∠OID=∠DEO
又∵∠EID=45°
∴△EFI为等腰直角三角形
∴EF=IF
根据ASA知：△OIF≌△DEF
∴OI=ED

综上所述：OI⊥ED且OI=ED

证毕！gha

追问

∵O为外心
∴∠AOB=2∠C=60°
∴△AOB为等边三角形

哪来的角度啊

Answer 3

证明：∵I是内心，
∴AC CE =AB BE =AI IE ，AC+AB BC =AB BE ．
又∵AC+AB=2BC，
∴AB=2BE．由△ABE∽△ADC知AD=2DC．
又∵DC=DI（内心性质），
∴AD=2DI．
而O是外心，
∴OI⊥AI．

Answer 4

ab=3id 拉]

Answer 5

ab=3id