Question

“5.设数列{an}的前n项和为Sn，已知A1=a，An+1=Sn+3^n（三的n次方），n∈N*

设数列{an}的前n项和为Sn，已知A1=a，An+1=Sn+3^n（三的n次方），n∈N*
设bn=Sn-3^n，求数列{bn}的通项公式”

2.)若A（n+1）≥An，n∈N*，求a的取值范围

Answer 1

1、A(n＋1)=S(n＋1)－Sn=Sn＋3^n ====>>>> S(n＋1)=2Sn＋3^n ==>>> 都减去3^(n＋1)
====>>>> S(n＋1)－3^(n＋1)=2Sn＋3^n－3^(n＋1)=2Sn－2×3^n=2[Sn－3^n]
则：[S(n＋1)－3^(n＋1)]/[Sn－3^n]=2=常数，即：[b(n＋1)]/[bn]=2=常数，所以数列{bn}是以b1=S1－3=a1－3=a－3为首项、以q=2为公比的等比数列，则：
①若a=3，则bn=0；②若a≠3，则bn=(a－3)×2^(n－1)

2、当a=3时，显然满足；
若a≠3，则Sn－3^n=bn=(a－3)×2^(n－1) ===>>>> Sn=(a－3)×2^(n－1)＋3^n
则：An=Sn－S(n－1)===>>>>> An=(a－3)×2^(n－2)＋2×3^(n－1)
A(n＋1)≥An ===>>>> (a－3)×2^(n－1)＋2×3^(n)≥(a－3)×2^(n－2)＋2×3^(n－1)
(a－3)×2^(n－2)≥－4×3^(n－1)
a－3≥－8[3/2]^(n－1) 其中n≥2
则：a≥3－8[3/2]^(n－1) ===>>>> 3－8[3/2]^(n－1)的最大值是
当n=2时取得的，是－9
则：a≥－9
另外，A2=S1＋3=A1＋3，显然有：A2>A1，满足。
综合，有：
a≥－9

Answer 2

An+1=Sn+1-Sn=Sn+3^n 所以Sn+1=2Sn+3^n
等号两边同时减去3^(n+1) 即Sn+1-3^(n+1)=2(Sn-3^n)
即bn+1=2bn 所以bn=b1*2^(n-1)
b1=a1-3=a-3
所以bn=（a-3)*2^(n-1)

2)An=Sn-1+3^(n-1) 相减得到An+1-An=An+2*3^(n-1)≥0 带入n=1得到A1+2≥0 即a≥-2 是必要的
而A2=1 为正 则后面每项均为正 a>=-2已满足

Answer 3

上面的第一题答案是正确的。
（2）由（1）知，bn=（a-3)*2^(n-1)又bn=Sn-3^n
则Sn=bn＋3^n＝（a-3)*2^(n-1)＋3^n
又An+1=Sn+3^n则An=Sn-1＋3ˆ(n-1)
若A（n+1）≥An即有Sn+3^n≥Sn-1＋3ˆ(n-1)
即An≥3ˆ(n-1)－3^n即Sn-1＋3ˆ(n-1)≥3ˆ(n-1)－3^n
则（a-3)*2^(n-2)＋3^(n﹣1)＋3ˆ(n-1)≥3ˆ(n-1)－3^n
即¼（a-3)×2^n≥(﹣4／3)×3^n
即a-3≥(﹣16／3)×(3／2)^n恒成立，又有当n=1时，(﹣16／3)×(3／2)^n取得最大值为-
故a-3≥﹣8则a≥﹣5