Question

求教一道数学题，题目在所附图片里

题目在所附图片里
谢谢啦！

Answer 1

这题目...问楼上的你怎么知道哪个偶数哪个是什么数阿,x1=根号2不可以吗,还连续的,无语了误导人啊
第一步详细写下
设f(x)=(x+x1)(x+x2)...(x+xn)=x^n+x^(n-1) (x1+x2+x3...xn)+x^(n-2) (x1x2+x1x3...)+...+x1x2...xn
以上右式可由组合得到
所以由题意x>=0时,f(x)>0
大头的证明完了,后面的就是叙述问题
第二步简单叙述下,可以用反证法
应该知道f(x)=(x+x1)(x+x2)...(x+xn)的图像是在x轴上下穿来穿去的,由x>=0时,f(x)>0可知,
-xk,(k在1到n之间)小于0
所以所有的x都是正数

追问

这个方法很简洁，真是太好了！十分感谢您！
我前天绞尽脑汁用数学归纳法给出了一个较为复杂的证明，不知正确与否，还想麻烦您评判一下！谢谢！

追答

这个~证明过程~好像楼主对题目的理解有点问题
我这样理解楼主的证明过程，在归纳假设里，你用反证法先假设了Xk+10是归纳假设，你认为与（x1x2...xk）xk+1>0矛盾，认为假设错误

这样解我觉得是误解了题意，这题目应该是不能用数学归纳法来做的，你假设了n=k时命题成立，
但在n=k+1命题也成立的证明中，你是不能用x1，x2，x3.。。xk>0这个条件的，因为在n=k+1里的x1，x2...不是n=k里的x1，x2...
这样说你可能不理解，换种说法，你的假设等价于：k个数时，只要满足这一大堆条件，命题就是对的，
所以下一步应该是k+1个数时，只要满足新的一大堆条件，命题成立
这样的话什么x1，x2其实只是个代号而已。

不知道这样说看的懂瓦，我只是个新高三学生，可能表达能力差了点，不懂再说

追问

我的归纳假设是：任意k个数时，只要满足这一些条件，就可得出这k个数都大于0。
k+1个数时，排除了xk+1，剩下k个数，依然满足这一些条件。
由于n=k时的k个数是任意的，因此n=k+1时的k个数满足相同条件，也就应该有相同的结论。
我对你“但在n=k+1命题也成立的证明中，你是不能用x1，x2，x3。。xk>0这个条件的，因为在n=k+1里的x1，x2...不是n=k里的x1，x2.. ” 不太赞同
十分希望你能抽出宝贵时间再帮我看一下。我不胜感激！

追答

“因此n=k+1时的k个数满足相同条件”这里有问题
你怎么知道x1，x2，...xk满足这些条件，你的已知条件只有n=k+1时的那一堆不等式，
以及你的归纳假设：任意k个数时，只要满足这一些条件，就可得出这k个数都大于0

Answer 2

将第二个式子添加一个x1的平方，则二式任然大于零，然后提取x1与一式相除可得x1大于零，同理将三式添加一个x1*x2^2,三式任然大于零，提取x1*x2，与二式提取x1相除，可得x2大于零，以此类推可得x1.。。。xn都是正数。自己做的，希望能帮到你

追问

第二式中不是所有项都含有X1，比如最后一项Xn-1Xn
可能我题目没说清楚
第i式中的每一项是X1，...，Xn中任取i个变量的乘积，第i式有n!/(i!*(n-1)!)项作和。
当n=4时，题设条件如图：

Answer 3

（用反证法）
设X1········Xn之间有负数的存在
（1）因为X1·········Xn之间是连续的
那么设奇数为负，第一个式子成立
第二个式子不成立，第三个式子不成立
以下都不成立
（2)设偶数为负
同理；第一个式子成立
以下都不成立
结论与假设不一致
所以假设错误
所以;X1······Xn之间没有负数都是正数

追问

是否存在某些下表为奇数的变量和某些下标为偶数的变量同时为负，而使得题设条件成立呢？
这是不包含在你刚才讨论的两种情况里的。

追答

若两者同时为负，那么一式肯定不成立。与角标没有关系。

追问

我的意思不是让所有变量都取负值，而是部分下表为奇数的变量和部分下标为偶数的变量同时为负，其他的取正。
比如，x1<0，x2<0；其他的都大于零。
这些情况您没有考虑