Question

高一向量大题，请请写出详细过程。

已知向量a=(cos3/2X,sin3/2) ,b=(cosX/2,sinX/2),c=(1,-1),其中X∈［-π/2，π/2]。
问题：设函数f(x)=( |a+c|ˆ2-3)( |b+c|ˆ2-3),求f(x)的最大值和最小值。
修改：a=（cos3/2X，sin3/2X)

Answer 1

解:
易知，向量a, b均为单位向量,即|a|=|b|=1.
∴a²=b²=1.又显然有c²=2.
∴|a+c|²-3
=(a+c)²-3
=a²+2ac+c²-3
=2ac.
同理可得:|b+c|²-3=2bc.
显然,ab=cos[(3x/2)-(x/2)]=cosx.
∴由题设可知
f(x)=4abc²
=8ab.
=8cosx.
即函数f(x)=8cosx,
又-π/2≦x≦π/2.
∴0≦cosx≦1.
∴恒有0≦8cosx≦8.
∴f(x)max=8,
f(x)min=0.

追问

为什么ab=cos[(3x/2)-(x/2)]=cosx.

追答

由题设及向量积的定义可得:
ab=(cos3x/2, sin3x/2)*(cosx/2, sinx/2)
=cos3x/2cosx/2+sin3x/2sinx/2
=cos[(3x/2)-(x/2)]
=cosx. (这里,用了"两角差的余弦公式")

Answer 2

a=(cos3/2X,sin3/2X) ,b=(cosX/2,sinX/2),c=(1,-1)
a+c=[cos(3x/2)+1,sin(3x/2)-1]；
|a+c|^2-3=[cos(3x/2)+1]^2+[sin(3x/2)-1]^2-3
=[cos(3x/2)]^2+2cos(3x/2)+1+[sin(3x/2)]^2-2sin(3x/2)+1-3
=2cos(3x/2)-2sin(3x/2)
b+c=[cos(x/2)+1,sin(x/2)-1]；
|b+c|^2-3=[cos(x/2)+1]^2+[sin(x/2)-1]^2-3
=[cos(x/2)^2+2cos(x/2)+1+[sin(x/2)]^2-2sin(x/2)+1-3
=2cos(x/2)-2sin(x/2)
∴f(x)=( |a+c|ˆ2-3)( |b+c|ˆ2-3)
=[2cos(3x/2)-2sin(3x/2)][2cos(x/2)-2sin(x/2)]
=2[2cos(3x/2)cos(x/2)+2sin(3x/2)sin(x/2)-2cos(3x/2)sin(x/2)-2sin(3x/2)cos(x/2)]
=2{[cos(3x/2+x/2)+cos(3x/2-x/2)]+[cos(3x/2-x/2)-cos(3x/2+x/2)]-[sin(3x/2+x/2)-sin(3x/2-x/2)]-[sin(3x/2+x/2)+sin(3x/2-x/2)}
=2{[cos2x+cosx]+[cosx-cos2x]-[sin2x-sinx]-[sin2x+sinx]}
=2{2cosx-2sin2x}=4(cosx-2sinxcosx)
=4cosx(1-2sinx)
∵x∈[-π/2,π/2]，∴cosx∈[0,1]，sinx∈[-1,1]
∴f(x)=4cosx(1-2sinx)=4(1-2sinx)√(1-sinx^2)
设t=sinx∈[-1,1]，则y(t)=4(1-2t)√(1-t^2)
对t求导，得 y'(t)=-4[2√(1-t^2)+t(1-2t)/√(1-t^2)]
y(t)取得极值时，y'(t)=0
由2√(1-t^2)+t(1-2t)/√(1-t^2)=0解得t=(-1±√33)/8