Question

0<a<=1/5是函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间（负无穷大，4]上为减函数的什么条件 怎么得出来的啊

Answer 1

f(x)=ax^2+2(a-1)x+2
分三种情况讨论：
①a<0时，二次函数开口向下，对称轴为x=(1-a)/a.
它在(-∞，(1-a)/a ]上递增，
不可能满足在区间(-∞，4]上为减函数。
②a=0时，f(x)=-2x+2,
此时是一次函数，满足在区间(-∞，4]上为减函数。
③a>0时，二次函数开口向上，对称轴为x=(1-a)/a.
它的减区间是(-∞，(1-a)/a ]，
要使函数在区间(-∞，4]上为减函数，
则需区间(-∞，4]在对称轴左侧，
所以(1-a)/a≥4，解得a≤1/5.
又因a>0,所以0<a≤1/5.

综上可知：函数f(x)=ax^2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4]上为减函数的充要条件是0≤a≤1/5.

所以0<a<=1/5是函数f(x)=ax^2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4]上为减函数的充分不必要条件。

Answer 2

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