Question

求解极限，谢谢！

Answer 1

解：分享一种解法，用等价无穷小量替换求解。
∵x→0时，ln(x+1)~x-(1/2)x^2，e^x~1+x，
∴(1+x)^(1/x)-(1+2x)^[1/(2x)]=e^[(1/x)ln(1+x)-e^[(1/2/x)ln(1+2x)]~e^(1-x/2)-e^(1-x)=e[e^(-x/2)-e^(-x)]~e[1-x/2-(1-x)]=(e/2)x，
∴原式=(e/2)lim(x→0)x/sinx=e/2。供参考。

追问

ln(1+x)的等价无穷小不是x吗

追答

x是ln(1+x)的等价无穷小量，x-(1/2)x^2也是。等价无穷小量，其本质是取泰勒级数的前n项，与之比值的极限为1。一般取前几项(n=1,2,或者3)，要看解决问题的环境定。

追问

感谢

Answer 2

e/2 .........
.

追问

能给出过程吗

追答

[(1+x)^(1/x)-e]/sinx用罗必达法则可能行。没时间试。

[(1+x)^(1/x)-e]/sinx用罗必达法则可能行。

x->0 [(1+x)^(1/x)-e]/x-[(1+2x)^(1/(2x))-e]/x=(-e/2)-(-e)=e/2