Question

高一数学，已知tanα,tanβ是关于x的方程x^2-3x-3=0的两根,求sin(2α+2β)的值

已知tanα,tanβ是关于x的方程x^2-3x-3=0的两根,求sin(2α+2β)的值

Answer 1

已知tanα,tanβ是关于x的方程x^2-3x-3=0的两根
则由韦达定理 tanα+tanβ=3 tanα*tanβ=-3
所以tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα*tanβ)=3/(1+3)=3/4
亦即sin(α+β)/cos(α+β)=3/4
sin(α+β)=(3/4)cos(α+β) (1)
两边平方 sin²(α+β)=(9/16)cos²(α+β)
即1-cos²(α+β)=(9/16)cos²(α+β)
所以cos²(α+β)=16/25
故sin(2α+2β)=sin2(α+β)=2sin(α+β)cos(α+β)
=(3/2)cos²(α+β) [(1)代入]
=(3/2)*(16/25)
=24/25
希望能帮到你O(∩_∩)O

Answer 2

由tanα×tanβ=-3 tanα+tanβ=2可得tan（α+β）=0.5
sin(2α+2β)=2sin（α+β）cos（α+β）
=2sin（α+β）cos（α+β）/sin^2（α+β）+cos^2（α+β）
分子分母同除以cos^2（α+β）
可得 =2tan（α+β）/tan^2（α+β）+1
=2*0.5/1.5=2/3