Question

问一道数列与导数综合的题目，谢谢！

题目见图，第(1)小问就不用回答了，两个根应该是(-1+根号5)和(-1-根号5)；看到知道里面有人问过一样的题，可是 解答不完全， 我也看不懂，希望能自己回答不要抄那个解答，谢谢!
希望解答过程能用word里面的mathtype或者其他能打公式的软件打出来，这样过程看得很清楚，如果不会弄这些直接打也希望关于分数的写的清楚些，哪个是分子哪个是分母都用括号括清楚，谢谢大家了!
图片应该是能看得清的，如果点了之后的图片太小的话，可以右键点击图片再点击“图片另存为”下载到自己电脑上看 那就能放大了，谢谢!

Answer 1

(1)f(x)=x²+x-1=0
解得α=(-1+√5)/2 β=(-1-√5)/2
(2) a(n+1)=an-f(an)/f'(an)=an-(an²+an-1)/(2an+1)
=(an²+1)/(2an+1)
用数学归纳法
[1] 当n=1时 a1=1>α
n=2时 a2=(a1²+1)/(2a1+1)=2/3>α
[2] 设n=k时 ak>α成立
[3] n=k+1时 a(k+1)=(ak²+1)/(2ak+1)
=(1/4)[2ak-1+5/(2ak+1)]
=(1/4)[(2ak+1)+5/(2ak+1)-2]
>(1/4){2√[(2ak+1)*5/(2ak+1)]-2}
=(1/4)(2√5-2)
=(√5-1)/2
=α
(注：等号成立时，(2ak+1)²=5 解得ak=(√5-1)/2=α，但ak>α，所以取消等号)
(3) 由已知f(x)=0的两根为α，β
则α²+α-1=0 1-α=α²
β²+β-1=0 1-β=β²
所以a(n+1)-α=(an²+1)/(2an+1)-α=(an²+1-2αan-α)/(2an+1)
=(an²-2αan+1-α)/(2an+1)
=(an²-2αan+α²)/(2an+1)
=(an-α)²/(2an+1) (1)
a(n+1)-β=(an²+1)/(2an+1)-β=(an²+1-2βan-β)/(2an+1)
=(an²-2βan+1-β)/(2an+1)
=(an²-2αan+β²)/(2an+1)
=(an-β)²/(2an+1) (2)
(2)÷(1) [a(n+1)-β]/[a(n+1)-α]=(an-β)²/(an-α)²=[(an-β)/(an-α)]²
由此可顺推(an-β)/(an-α)={[a(n-1)-β]/[a(n-1-α]}²=....=[(a1-β)/(a1-α)]^[2^(n-1)]
=[(1-β)/(1-α)]^[2^(n-1)]
=(β²/α²)^[2^(n-1)]
=(β/α)^(2^n)
所以bn=ln(β/α)^(2^n)=2^n*ln(β/α)
则Sn=(2+2^2+...+2^n)*ln(β/α)
=2(2^n-1)*ln(β/α)
希望能帮到你O(∩_∩)O

Answer 2

解 (1)由x2+x-1=0，得x=-1±52,∴α=-1+52,β=-1-52.

　　(2)f′(x)=2x+1,an+1=an-a2n+an-12an+1=a2n+12an+1.

　　an+1-βan+1-α=an2+12an+1+1+52an2+12an+1+1-52

　　=an2+(1+5)an+3+52an2+(1-5)an+3-52

　　=an+1+52an+1-522=an-βan-α2,

　　∴bn+1=2bn.又b1=lna1-βa1-α=ln3+53-5=4ln1+52,

　　∴数列{bn}是一个首项为4ln1+52,公比为2的等比数列.

　　∴Sn=4ln1+52(1-2n)1-2

　　=4(2n-1)ln1+52.

追问

第(2)小问的开头5行看得实在费劲... 尽管打了很多空格作区分但是哪个是下标哪个不是分的不是很清，希望能再修改一下，下标比如a， n+1为下标就写成a_(n+1)好了，或者您喜欢写成什么样子都可以，括号多用点没关系，就是不要都打空格就行了，望再修改一下，谢谢!
x的平方也可以直接写成x^(2)

Answer 3

题目看不清，希望能清晰一点