Question

已知f(x)满足对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)乘f(y),且f(x)≠0,当x>0,f(x)>1,求证

f(x)>0和f(x)在R上是增函数

Answer 1

证明：f(0+0)=f(0)*f(0)，f(0)=0或者f(0)=1.由f(x)≠0得，f(0)=1.
取x>0，f(x+(-x))=f(0)=f(x)*f(-x)=1，因为f(x)>1，所以0<f(-x)<1，是个正数。所以f(x)>0.x∈R.
f(x1-x2)=f(x1)*f(-x2)，其中x1>x2，那么f(x1-x2)>1，f(-x2)=1/f(x2)，f(x1)*f(-x2)=f(x1)/f(x2)>1，所以f(x1)>f(x2)。即f(x)在R上是增函数。