Question

矩阵问题： 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*， 证明：（1）若|A|=0，则|A*|=0； （2）|A*|=|A|^(n-1)

Answer 1

(1) 是(2) 的特殊情况 证明请看图片:

Answer 2

(1) |A|=0 则秩<=n-1
若秩<n-1, 则A*的每个元素都为0
若秩=n-1, 则A*不等于0矩阵，且由AA*=|A|E=0知， A*的列向量为AX=0的解，从而秩A*=1
综上可知秩A*<=1, 显然 |A*|=0
(2) 若|A|=0结论显然成立
若|A|不等于0，则由 AA*=|A|E两边取行列式，可得结论。

Answer 3

(1)第一个用秩性质简单
|A|=0则R(A)<n,所以r(A*)<n->|A*|=0
(2)第二个用性质AA*=|A|E
所以|AA*|=|A||A*|=||A|E|=|A|^n
当A不可逆时|A||A*|==0=||A|E|=|A|^n=|A|^(n-1)=0恒成立
当A可逆）|A*|=|A|^(n-1)