Question

设n阶方阵A的伴随矩阵为A*，证明，(1)若|A|=0则|A*|=0(2)|A*|=|A|∧n-1

设n阶方阵A的伴随矩阵为A*，证明，(1)若|A|=0则|A*|=0(2)|A*|=|A|∧n-1在线等急

Answer 1

(1)
证：

如果r(A)<n-1，A的所有n-1阶子式行列式都为0
由伴随阵的定义，A*=0
∴|A*|=0

如果r(A)=n-1
A(A*)=|A|E=0
A*的列向量为Ax=0的解，根据线性方程组理论
r(A)+r(A*)≤n
∴r(A*)≤1
∴|A*|=0

结论得证！

(2)
如果|A|=0，利用(1)的结论，|A*|=0
∴|A*|=|A|^(n-1)
如果|A|≠0，
∵A(A*)=|A|E
∴|A(A*)|=||A|E|【注意|A|是常数，计算行列式提出来就是|A|^n】
即：|A||A*|=|A|^n
∴|A*|=|A|^(n-1)

Answer 2

【分析】： (1)将条件分为A=O和A≠O两种情况，利用公式AA*=｜A｜E，通过反证法证明． (2)同样，分为A=O和A≠O两种情况证明． 【证明】：