Question

已知直线l：y=x+m 1.若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程 ？

2.若直线L关于x轴对称的直线为L‘，问直线L’与抛物线c；x2=4y是否相切？说明理由

Answer 1

1由y=x+m可知，k=1，且与x轴夹角为45°，P在直线上，则为（0，-m)。由圆的方程为
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，则为(x-2)^2+y^2=r^2，作图可知，直线与圆相切构成的三角形是等腰直角三角形，所以r为P(0,m)与（2，0）的距离，两点之间距离公式算可得r=根号下2^2-m^2,既圆的方程为
(x-2)^2+y^2=2^2-m^2.
2.有抛物线方程算出焦点为（2，0），设直线L'与抛物线相切，则L'的斜率为1，方程为y=-x-m
且经过点（p，0），联立方程组x^2=4y,y=-x-p,得x^2-4x+4m=0,若相切，则b^2-4ac=0，算出p=0,可知与设立条件不符，显然m不等于0

Answer 2

解法一：

（I）依题意，点P的坐标为（0，m）

因为，所以，

解得m=2，即点P的坐标为（0，2）

从而圆的半径

故所求圆的方程为

（II）因为直线的方程为

所以直线的方程为

由

（1）当时，直线与抛物线C相切

（2）当，那时，直线与抛物线C不相切。

综上，当m=1时，直线与抛物线C相切；

当时，直线与抛物线C不相切。

解法二：

（I）设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为

依题意，所求圆与直线相切于点P（0，m），

则

解得

所以所求圆的方程为

Answer 3

分析：（I）利用待定系数法求本题中圆的方程是解决本题的关键，利用直线与圆相切的数学关系列出关于圆的半径的方程，通过求解方程确定出所求圆的半径，进而写出所求圆的方程；
（II）设出直线为l'的方程利用直线与抛物线的位置关系解决该题，将几何问题转化为代数方程组问题，注意体现方程有几个解的思想．解答：解：（I）设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为（x-2）2+y2=r2．由题意，所求圆与直线l：y=x+m相切于点P（0，m），则有
4+m2=r2 |2-0+m| 2 =r ，解得 m=2 r=2 2 ，所以圆的方程为（x-2）2+y2=8．
（II）由于直线l的方程为y=x+m，所以直线l'的方程为y=-x-m，由 y=-x-m x2=4y 消去y得到x2+4x+4m=0，△=42-4×4m=16（1-m）．
①当m=1时，即△=0时，直线l'与抛物线C：x2=4y相切；
②当m≠1时，即△≠0时，直线l'与抛物线C：x2=4y不相切．
综上，当m=1时，直线l'与抛物线C：x2=4y相切；当m≠1时，直线l'与抛物线C：x2=4y不相切．

Answer 4

（1）由题意P(0,m)，（画图）因为直线:y=x+m，所以K=1，所以Kmp=(m-0)/(0-2)=-1,所以求得m=2，所以P(0,2),所以半径R=根号下（4+4）=2根号下2，所以圆方程为（x-2）^2+y^2=8
（希望是对的）