Question

一道高一物理题。。。。。。有变力做功的问题

宇宙间某一惯性参考系中，有两个可以视为质点的天体A，B,质量分别为M，m,相距L。现在A静止，B有A，B连线延伸方向的初速度V，由于B受系统外F作匀速运动。
球A,B间最远距离，此时F做的功
开始时A静止，并非一直静止，对不起各位。。

Answer 1

首先，以这题的难度。。10分有点少吧

先把F搞定吧，用能量求，以B的匀速运动为参！（能量守恒）
1式： 0.5MV方-GMm/L=-GMm/L1 （设最远距离为L1，相距最远时共速，相对速度为0，没有动能）
把（GMm/L1）当成一项，记住它为 （-0.5MV方+GMm/L）

然后回到原来的参考系：（功能原理）
W=【0.5（M+m）V方-GMm/L1】-【0.5mV方-GMm/L】 （共速时速度都是V）
=0.5MV方-GMm/L1+GMm/L （此时把通过1式求出的结论带入）
=0.5MV方-（-0.5MV方+GMm/L）+GMm/L
= MV方 （这就是答案了）
这就搞定了。。其实就是换一下参考系的事

但这题还没完。注意1式等式右边是一个负值（引力势能总为负）！
可左边的量是在变的，V的值不一定。
所以需要分类讨论。V的值有一个界限。即当V太大时B吸引不了A了，他们之间距离越拉越远
当1式左边=0，即V=根号（2Gm/L）时， 代表着最后引力势能为0，即L1为无穷远，且A最后与B共速
当1式左边>0，即V>根号（2Gm/L）时， 代表着不仅距离为无穷，A还有速度（相对速度）远离B
以上两种情况就不详解了，主要就是求出A最后对B的相对速度即可。

希望帮到你

另外和四楼的热心网友讨论一下
那个W的确只是F做功，不考虑内部非保守力做功啊，而且引力也是保守力，引力势能是不能忽略的。
就像一个外力拉一个谐振子，最后外力做功应为物块动能和弹性势能之和。
对于这题的理解我觉得如果以B为参的话就类似于火箭发射。
以B为参是惯性系，没有惯性力（5楼如果以A为参恐怕就有了）
这就相当于B是地球，A是发射出去的火箭。
所求得最远距离就是火箭达到的高度。
那个V的范围的讨论也就是在说火箭是否会逃离地球，临界速度 根号（2Gm/L） 也就相当于第二宇宙速度

追问

算了。你们都在用那个引力势能公式是怎么回事。。而且最远距离时显然应该A，B速度相等嘛。。问此时F做的功。。后面距离无穷的什么是神马意思啊

追答

先说无穷远的事吧。
首先要看A,B是否能达到最远距离。
如果能达到，肯定是速度相等时，我前几行的求解用的就是这个。
但后面讨论了V的不同情况。（其实如果题目说清楚一点，说肯定有A，B最远距离，此后的讨论就不用了）
也就是V太大时A的速度就永远也达不到V了，也就不存在最远距离，最远无穷远。

再说引力势能公式。此为基本公式：Ep=-GMm/r （M，m，相距为r时得引力势能，以无穷远为零势能位置）。
http://baike.baidu.com/view/869232.html?wtp=tt
这个是推导，利用万有引力公式得来。 中间要用到小小的积分知识。 做题时不用推导，用结论即可

追问

【0.5（M+m）V方-GMm/L1】-【0.5mV方-GMm/L】。这个总能量相减时为何势能全部使用-号呢？。不是总能量应该动能加势能吗。。

追答

是加上了势能，但势能本身就是负的。 注意公式的细节。

Answer 2

F做的功就是B机械能的增加量
WF=ΔE
又一开始时对于B万有引力势能Ep=-GMm/L，最后A，B距离为无穷大，其势能为0
B机械能增加量包括动能的增加与引力势能的增加
WF=ΔE=ΔEp+ΔE动=0-(-GMm/L)+1/2mv^2=GMm/L+1/2mv^2

Answer 3

这题目没问题吧？
初始的时候 由于由于B受系统外F作匀速运动，所以F和初始时的引力大小相等，方向相反。
但B的初速度是朝外的。所以在下一个时刻，AB距离变大，引力变小，而F不变，那么B所受合力是朝外的，它就会加速朝外运动。 最远可到无穷

追问

B受到A，B系统之外的某力F而作匀速运动，。此处未说F是恒力

追答

那就简单了。由于B一直匀速运动，那么以B作为参考系，A具有初速度v，由能量守恒，最远时有
1/2Mv^2-GmM/L=0-GMm/L' 即可解出 L'
返回原参考系，在AB距离最大时，B动能不变，A动能由0变为1/2Mv^2.AB之间的引力势能变化为
GMm(1/L-1/L'), 总能量变化为
GMm(1/L-1/L')+1/2Mv^2，全是F做功

追问

B一直在做匀速运动而无变化。。A应该是在万有引力作用下加速到V，此时能变更参考系说B的动能变为了引力势能吗

追答

可以。一切惯性系都是等效的。以B为参考系的话，B的速度始终为0.

Answer 4

由于物理已经扔了多年 所以回忆着回答下 大家探讨 娱乐下
3楼的第二步用到功能原理是否吧A,B看成一个系统呢？那等式左边只有外力F做功W不考虑系统内非保守力做功吗？如果考虑也就是系统势能的变化，那就和等式右边的势能变化消掉了，所以等式简化成W=0.5（M+m）V方-0.5mV方=0.5MV方
这个题我这样考虑
B受外力和引力共同做功且B有初速并匀速 以A为参对B分析
W-(GMm/L-GMm/L1）=0.5mV方-0.5mV方
W=GMm/L-GMm/L1 此为1）式
A只有引力对其做功 设最大距离时A的速度为Va 距离为L1 ，以B参考对A分析
则0.5MVa方=GMm/L -GMm/L1 此为2）式 由1） 2）式得W=0.5MVa方
由2）式得 Va=根号（2Gm/L -2Gm/L1)
讨论 当L1趋近无限大时Va得最大值=根号（2Gm/L）
a）当B的初始速度V>=根号（2Gm/L）时最大距离为AB距离无限远 两质点无引力作用AB以
V速度各自匀速运动F不再做功 W=0.5MVa方=0.5MV方=GMm/L 此为3）式
b)当B的初始速度V< 根号（2Gm/L）最大距离为Va=V时 此后距离缩短
故W=0.5MV方 （需注意此处虽然W=0.5WV方但是W并不等于3)式中的GMm/L，因为两
式中的的V的取值范围不一样）
由a）b）知任何情况F做功W=0.5MV方
附注：其实简单理解来讲AB为一系统外力做功改变系统动能 B动能不变故W为A的动能增加，又因为最远距离为无穷大时A的速度必然无限趋近或等于B的速度故其动能为0.5MV方，若A会追上B则在Va=V时距离最大 故A的动能仍为0.5MV方。