Question

线性代数。一道题。证明线性无关！ 要具体过程。

Answer 1

证明:
假设命题不对，即α1，α2，α3，β1+β2线性相关，
则由线性相关的定义，存在不全为0的a、b、c、d使得
aα1+bα2+cα3+d(β1+β2)=0
若d=0，则aα1+bα2+cα3=0，则α1，α2，α3线性相关，与题设中α1，α2，α3线性无关矛盾
故β2=(a/d)α1+(b/d)α2+(c/d)α3-β1
由已知，β1可由α1，α2，α3线性表示，即存在e,f,g使得
β1=eα1+fα2+gα3
故β2 = (a/d)α1+(b/d)α2+(c/d)α3-β1
= (a/d)α1+(b/d)α2+(c/d)α3 - (eα1+fα2+gα3)
= (a/d-e)α1+(b/d-f)α2+(c/d-g)α3
即β2可由α1，α2，α3线性表示，与题设中β2不可由α1，α2，α3线性表示矛盾
故假设不对，故原命题成立