Question

已知函数f(x)=3x-x^3在区间(a^2-12,a)上有最小值,则实数a的取值范围是?

Answer 1

a^2-12<a--> (a-4)(a+3)<0----> -3<a<4
开区间的最小值只能在导数为0的点。
f'(x)=3-3x^2=3(1-x^2)=0--> x=1 or -1
最小值有f"(x)=-6x>0, 因此只能取x=-1点为最小值。此点在区间内。即有：
a>-1
a^2-12<-1--> a^2<11 --> -√11<a<√11
因此综合得： -1<a<√11

Answer 2

一、首先，由区域大小决定 a>a^2-12，求得 -5/2<a<9/2
二、根据函数的性质，求根与极小值。
令 f(x)=0，求得，x1=-√3，x2=0，x3==√3
再令f'(x)=0，求得，x4=-1,x5=1
显然，x4=-1为函数f(x)的极小值，此值必在[-√3，0]之间，于是，有
a>-1 及 a^2-12<-1 求得 -1<a<√11
综合一、二，有 -1<a<√11