Question

f(x)=x^5-5x^4+7x^3-2x^2+4x-8的有三重因式(x-2)^2为啥是三不是2

Answer 1

f(x)没有重因式等价于f(x)与f'(x)没有公共根, 等价于f(x)与f'(x)互素. 一般都是用这个条件判别, 用辗转相除求最大公因式. 对f(x) = x^5-5x^4+7x^3-2x^2+4x-8, f'(x) = 5x^4-20x^3+21x^2-4x+4. 5f(x) = (x-1)·f'(x)-6x^3+15x^2+12x-36 = (x-1)·f'(x)-3(2x^3-5x^2-4x+12). 设g(x) = 2x^3-5x^2-4x+12. 有4f'(x) = (10x-15)·g(x)+49x^2-196x+196 = (10x-15)·g(x)+49(x-2)^2. 设h(x) = (x-2)^2. 有g(x) = (2x+3)·h(x). 因此f(x)与f'(x)的最大公因式为(x-2)^2. f(x)含有重因式(x-2)^3.

追问

怎么知道f(x)含有重因式(x-2)^3

怎么知道f(x)含有重因式(x-2)^3