Question

概率 反三角函数的不等式

就是一道概率题

设随机变量X~U（0，π），求Y=cosX和Y=sinX的概率密度函数
解：
0<sinX≤1,对于0<y≤1,Y=sinX的分布函数
F(y)=P(Y≤y)=P(sinx≤y)=P(arcsiny≤x≤π-arcsiny)

这一步反三角的范围怎么求出来的？？
看到网上有用单位圆解的 但是完全不懂什么意思

求高手详细解答过程啊 arcsiny≤x≤π-arcsiny

Answer 1

我感觉不对啊，应该是P(π-arcsiny≤x≤π)+P（0<x<arcsiny),因为sinx在（0，π）范围不是单调函数，所以算他的分布函数一定要分成若干个单调区间，再分开讨论相加即可。单位圆一下和你说不清楚，但是非常好用，这个很值得研究。你问一下现实中的同学或老师。主要搞清楚sinx，cosx，x,tanx，cotx这几样在单位圆上的几何意义，这个很重要，最重要是前三种之间的关系。不懂再说。

追问

貌似说直接这个比分开算要简单
反正就卡在P(π-arcsiny≤x≤π）怎么求上了

这个是如何求出的 希望能有过程

追答

直接求法是错误的，不用单位圆也可以，画一个sinx图，主要是要（0，π）范围，可以看出，随着y轴平行线由负无穷到正无穷，向上移动，可以看出只要（0，正无穷大）时，他的下面才有值不为0，而（1，正无穷）F(y)恒为1.所以关键在（0，1）范围，可以看出当这个平行线移动到（0，1）范围内时，它的下方有两片区域，而不是中间的那片。然后就是确定边界点问题了，用反三角求出即可。sin(π-arcsiny)=y, y的反三角函数在（π/2,π）范围是π-arcsiny。因为arcsiny的范围是（-π/2，+π/2）。看来你还得把反三角函数的范围意义搞清楚。arccosx范围为（0，π），arctanx,范围为（-π/2，+π/2）。你直接求是求出了边界点，但是方向问题得搞清楚。P(π-arcsiny≤x≤π）是错的，应该是P(π-arcsiny≤x≤π)+P（0<x<arcsiny),不懂再问
一定要彻底搞清楚是什么意思，分布函数的意义得清楚，后面的二维分布函数是在这个基础上的，所以这个一定得搞清楚。这两点考研必考。

P(π-arcsiny≤x≤π）=1/π * （π-（π-arcsiny））=arcsiny/π，由于对称性，可以知道另一区域
P（0<x<arcsiny）=arcsiny/π，所以总的P(y)=2arcsiny/π
这个对称性如果不知道就和上面一样求，这样不出错，因为对称问题是一个很庞大的专题，也是很值得仔细详细分析归类的，涉及到区域对称和分布密度对称的关系，这个是考研重点。

楼下的第二象限区域错误。

追问

谢谢你的解答
整个思路我知道 换成y=e^x 或者x^2 都行 那个答案我是网上复制的
正确答案应该是两个区间的并

我的问题就是反三角函数的不等式 也就是反三角函数的问题
也就是
（π/2,π）这一段是如何解出 P(π-arcsiny≤x≤π）的
或者
简单点 0<a<1 0≤x≤2π 求使sinx大于等于a的x的范围
答案是[arcsina π-arcsina]

我就是没懂 是如何化出来的 能请你写出过程吗？

追答

你得知道arcsina是个什么东西？代表的是什么意思？这是代表的一个角度，而且这个角度是有范围的，上面我说了范围。你可能不知道π-arcsina,这个就是那个上限的角度，一定要注意arcsina是什么意思，这个你现在还没搞懂。arcsina代表的意思是一个（-π/2，+π/2）里面的这个角，这个角度的正弦值就是a,一定要注意这个角度的范围。所以在第二象限（π/2,π）也有一个角的正弦值等于a,这个角度就是sin(π-x),sin(π-x)=sinx，,比方说第三象限（π，3/2π）有一个角度正弦值等于-a(a>0时),则这个角度等于π+arcsina
比方说如果a=1/2,相信你会求这个范围，可是为什么换成了这个arcsin就不会了呢？说明对反三角函数的特性不太清楚。一一对应的意义和他的范围是关键。

Answer 2

y=sinx时
x=arcsiny 或π-arcsiny
sinx≤y时
在第一象限：0<x≤arcsiny
在第二象限：arcsiny≤x≤π-arcsiny
希望能帮到你O(∩_∩)O