Question

人教版高中数学必修5第一章1.1 B组

1.证明：设三角形的外接圆半径是R，则 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.
2.在△ABC中，如果有性质a cos A=b cos B。试问这个三角形的形状具有什么特点？
（两题都用正、余弦定理）

Answer 1

1.先来锐角.
连接OB,OC,因为作OD⊥BC于点D,因为OB=OC,所以△BOC是等腰三角形,BC边上的高平分∠BOC,即:∠BOC=2∠BOD.点D平分BC.即:BD=(1/2)BC=(1/2)a ----①
所以BD=Rsin∠BOD ----------②
而由圆心角=2倍圆周角可得∠BOC=2∠A,因此∠BOD=∠A -----③
①③代入②式,得(1/2)a=RsinA,即a=2RsinA
同理可证:b=2RsinB，c=2RsinC

直角就更简单了.
假设AC为斜边,则AC=2R,∠B=90°
a=ACsinA=2RsinA，
c=ACsinC=2RsinC，
b=2R=2RsinB
其他边为斜边的情况同理可证.

钝角的情况:
假设∠B为钝角,a=2RsinA，c=2RsinC的证法和锐角三角形的证法一样,作高,以下省略....(这个不用重复了吧?)
关于b=2RsinB的证法:
也是从点O作OM⊥AC于点M.边AC的圆周角=π-∠B=(1/2)∠AOC
所以∠COM=(1/2)∠AOC=π-∠B
(1/2)b=CM=Rsinπ-∠B=RsinB
所以b=2RsinB

2..根据正弦定理，acosA=bcosB变为2RsinAcosA=2RsinBcosB，即sin2A=sin2B，即2A=2B或者2A=π-2B，所以△ABC是A=B的等腰△或是角C为直角的直角△

Answer 2

1.画出三角形ABC和他的外接圆O
连接OC,OB,作BC中点D,连接OD
因为角COB等于2角A
所以角DOB等于角A
BD等于R*SINA是这样
BO延长交圆P点，BP为直径
BP=2R
∠BCP为RT∠
BC弦上圆周角：∠BPC=∠A
所以：BC=BP*sinA=2Rsina
D为BC中点
所以BD等于R*SINA 所以BC(即a)=2R*SINA
同理得其他三条边
2.根据正弦定理，acosA=bcosB变为2RsinAcosA=2RsinBcosB，即sin2A=sin2B，即2A=2B或者2A=π-2B，所以△ABC是A=B的等腰△或是角C为直角的直角△

Answer 3

1.是定理吧。好，外接园是三角形中垂线的交点，则圆心到三点的距离都相等，以正三角形为例，则根据三线合一定率可得（这就不用正了吧，画画图就知到了）。那么，当其不是正三角形时做三条垂线，SIN就是对边比斜边。这样就太间单了。
2.根据正弦定理可变为：SINA COSA=SINB COSB，2北角公式有 SIN2A=SIN2B，所以，哈哈A=B

Answer 4

sin2A=sin2B
2A=2B 或A+B=180
A=B