Question

设函数y=f(x)是定义域在R^+上的减函数,并且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(1/3)=1,求f(1)的值

如果f(x)+f(2-x)＜2，求x的取值范围

Answer 1

f(xy)=f(x)+f(y), f(1*1) = f(1)+f(1)=2f(1) =>f(1)=0
f(x)+f(2-x)<2 =>f(x(2-x)) <2
f(1/3 * 1/3) = f(1/3) +f(1/3)=2
因为f(x)是减函数，因此
x(2-x) >1/3 * 1/3 = 1/9
2x-x^2 >1/9
x^2 -2x +1/9<0
1-2/3 根号2 <x < 1+2/3 根号2
同时，由于f(x)的定义域为R+，所以 x>0, 2-x>0
所有这些不等式的交集就是答案

Answer 2

f(1/3*1)=f(1/3)+f(1)
f(1)=0

f(1/9)=2
即x(2-x)>1/9
x>0
2-x>0
解出来就OK了

Answer 3

令x=y=1，于是有f（1）=2f（1），从而得f（1）=0