Question

如图，已知直线AB经过圆O的圆心，且与圆O相交于A,B两点，点C在圆O上且∠AOC=30°点P是直线AB上一个动点

（与点O不重合），直线PC与圆O相交于点Q，问：是否存在点P，使QP=QO？存在，那么这样的点P共有几个？并求出相应的∠OCP的大小。不存在，请说明理由

Answer 1

符合条件的点P共有三个.

(1)当点P在BA延长线上P1点时:若OQ=P1Q,则∠QOP1=∠QP1O,设∠COQ=X,则∠QP1O=X+30.

∠OCQ=X+60=∠OQC. 则:2(X+60)+X=180,X=20,则∠OCP1=100°;

(2)当点P在线段AB上P2点时,同理相似可求:∠OCP2=40°;

(3)当点P在AB延长线上P3点时,同盟相似可求:∠OCP3=20°.

Answer 2

解：①根据题意，画出图①，
在△QOC中，OC=OQ，
∴∠OQC=∠OCQ，
在△OPQ中，QP=QO，
∴∠QOP=∠QPO，
又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，
∴3∠OCP=120°，
∴∠OCP=40°．
②当P在线段OA的延长线上（如图②）
∵OC=OQ，∴∠OQP=
180°-∠QOC
2
①，
∵OQ=PQ，
∴∠OPQ=
180°-∠OQP
2
②，
在△OCP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③，
把①②代入③得∠QOC=20°，则∠OQP=80°
∴∠OCP=100°；
③当P在线段OA的反向延长线上（如图③），
∵OC=OQ，
∴∠OCP=∠OQC=
180°-∠COQ
2
①，
∵OQ=PQ，
∴∠P=
180°-∠OQP
2
②，
∵∠AOC=30°，
∴∠COQ+∠POQ=150°③，
∵∠P=∠POQ，2∠P=∠OCP=∠OQC④，
①②③④联立得
∠P=10°，
∴∠OCP=180°-150°-10°=20°．