Question

（高一衔接）一元二次方程根与系数的关系习题

已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的两根为α β，且两个关于x的方程x²+（α+1）x+β²=0与x²+（β+1）x+α²=0有唯一的公共根，求a、b、c的关系式。

Answer 1

x2+(α+1)x+β2=0与x2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根
我们将两个式子相减得到
（α-β）x=α²-β²
x=α+β= -b/a
那么将这个根带进两个方程的任何一个得
b²/a²+α²+α+β+αβ+β²=0
b²/a²-b/a+b²/a²-c/a=0
2b²/a²=(b+c)/a
2b²/a=(b+c)
2b²=ab+ac
2b²-ab=ac
c=b(2b-a)/a

Answer 2

有唯一公共根可得：x^2+(α+1)x+β^2=x^2+(β+1）x+α^2有一个根，解得根为α+β。

再把根α+β代入任意一个式子中得（α+β）^2+α^2+β^2+αβ+α+β=0，即为2（α+β）^2+α+β-αβ=0

又因为α+β=-（b/a), αβ=c/a.
代入一式即得 2（b/a)^2-（c/a)-(b/a)=0

化简得：2b^2=ac+ab