Question

设a∈(0,π/2),函数f(x)的定义域为[0，1]，且f(0)=0, f(1)=1,当x≥y时，有f((x+y)/2)=f(x)*sinα

设a∈(0,π/2),函数f(x)的定义域为[0，1]，且f(0)=0, f(1)=1,当x≥y时，有f((x+y)/2)=f(x)*sinα+(1- sinα)*f(y), f(1/5)怎么求啊？

Answer 1

对f[(x+y)/2]=f(x)sinα+(1- sinα)f(y)，
令x=1，y=0，得f(1/2)=sinα；
令x=1/2，y=0，得f(1/4)=sin²α；
令x=1，y=1/2，得f(3/4)=2 sinα-sin²α；
令x=3/4，y=1/4，得f(1/2)=3sin²α-2 sin³α；
两个f(1/2)相等，得sinα=3sin²α-2 sin³α，结合a∈(0，π/2)可解得sinα=1/2。
于是f[(x+y)/2]=[f(x)+f(y)]/2
在直角坐标系O一xy下，
令A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C((x1+x2)/2，f((x1+x2)/2))，
则有：向量OC=1/2*向量OA+1/2*向量OB，
可见，A、B、C三点共线。
注意到x、y是[0，1]内的任意实数，以及两点确定一条直线的性质可知，f(x)的图像为一条直线，
又f(0)=0，f(1)=1，由待定系数法可求得直线方程为y=x，所以，f(x)=x。
从而f(1/5)=1/5。

Answer 2

可以这样，先设f(1/5)=m，根据f(1)和f(1/5)求出f(3/5)，再根据f(1)和f(3/5)求出f(4/5)。
然后根据f(0)和f(4/5)求出f(2/5)，最后f(0)和f(2/5)求出f(1/5)，这样可以列方程了。
估计能挺麻烦。

Answer 3

先确定Y值的区间，

Answer 4

爱上对方杀毒发烧地方

Answer 5

f