Question

函数f(x)=[(sinx)^2+1/2010(sinx)^2][(cosx)^2+1/2010(cosx)^2]的最小值是

Answer 1

设(sinx)^2=a,(cosx)^2=b,
则a+b=1,a≥0，b≥0.

f(x)=[(sinx)^2+1/2010(sinx)^2][(cosx)^2+1/2010(cosx)^2]
=(a+1/(2010a))( b+1/(2010b))
=ab+a/(2010b)+ b/(2010a)+ 1/(2010^2ab)
=ab+(a^2+b^2)/(2010ab) + 1/(2010^2ab)
=ab+((a+b)^2-2ab)/(2010ab) + 1/(2010^2ab)
=ab+(1-2ab)/(2010ab) + 1/(2010^2ab)
=ab+1/(2010ab)-2/2010 + 1/(2010^2ab)
= ab+2011/(2010^2ab)-1/1005
≥2√(ab*2011/(2010^2ab)) -1/1005
=2√2011/2010-1/1005
=(√2011-1)/1005.
ab=2011/(2010^2ab)时取到最小值。

Answer 2

首先化简函数，目标是找到统一的可以用来换元的式子，以便于换元后变成一元函数进行分析最终得到f(x)=(sinxcosx)^2+2011/((2010)^2*(sinxcosx)^2)-4020,将中括号的式子化成分式相乘后就能得到这个式子。
第二步：换元，令t=(sinxcosx)^2;那么f(t)=t+2011/(2010^2*t)-4020;我们要求出t的取值范围，这个不难；t=（sinx)^2*(1-(sinx)^2)=(sinx)^2-(sinx)^4=-((sinx)^2-0.5)^2+0.25求这个式子的最大与最小值应该很简单，最终结果是0=<t<=0.25;
第三步：求最小值；对f(t)进行求导得到：df（t）=1-2011/9(2010t)^2),令其为0，得到，t0=sqrt(2011)/2010约等于0.0223；当去其左右值，分别得到的结果是左负右正，说明这是个极小值点，而在t属于[0,0.25]区间里极小值就是它的最小值，所以带入这个值得到最小值为f(x)min=f(t)min=f(t0)= -4.0200e+003

追问

第三步那个，我导数没学呢

追答

那可以用楼下那位的一个最值得求法，原理是t+1/t>=sqrt(t*(1/t))
所以f(t)=t+2011/(2010^2*t)-4020>=sqrt(t*(2011/(2010^2*t)))-4020
也即f(t)>=sqrt(2011/2010^2)-4020
所以最小值为sqrt(2011/2010^2)-4020
与我求导的结果-4020是近似相等的，因为上面的结果借助了MATLAB计算，所以sqrt(2011/2010^2)-这一部分直接忽略了，因为相对4020它很小