Question

高数积分题，求大神解答，谢谢。

Answer 1

由题设条件，有∫(0,π)f(x)dx=∫(0,π)dx∫(0,x)sintdt/(π-t)。
对“∫(0,π)dx∫(0,x)sintdt/(π-t)”，积分区域D={(x,t)丨0≤x≤π，0≤t≤x}。交换积分顺序，有D={(x,t)丨0≤t≤π，t≤x≤π}。
∴∫(0,π)f(x)dx=∫(0,π)dx∫(0,x)sintdt/(π-t)∫=∫(0,π)dt∫(t,π)sintdx/(π-t)=∫(0,π)sintdt=2。
供参考。

Answer 2

这是二次积分，改变一下积分顺序就可解了。

Answer 3

I = ∫<0, π>f(x)dx = ∫<0, π>dx∫<0, x> sintdt/(π-t),
积分域 D 是 xOt 坐标系中以 O(0, 0), A(0, π), B(π, π) 为顶点的直角三角形，
交换积分次序，得
I = ∫<0, π> sintdt/(π-t) ∫<t, π>dx = ∫<0, π> sintdt = [-cost]<0, π> = 2