Question

关于矩阵函数的问题

x为一实数。A是一个矩阵，满足A^2=I.证明 ：
exp(iAx)=cos(x)I+isin(x)A
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求证明过程
关于矩阵函数和算子函数的。要证明过程。谢谢各位大神

Answer 1

证明过程需要用到如下三个泰勒级数展开式：
e^x= 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+Rn(x）
sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+Rn(x)(-∞<x<∞)
cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-...(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+... (-∞<x<∞)

这种矩阵形式的指数表达式exp(iAx)就是用相应的泰勒级数展开来定义的，方法就是把上面的x换成这里的矩阵iAx即可。上面的数字1，就是单位矩阵I，n次方也就是矩阵iAx相乘n次。

exp(iAx)
=I+iAx-A^2x^2/2!-iA^3x^3/3!+A^4x^4/4!+......+(iAx)^n/n!+......
=I+iAx-Ix^2/2!-iA^3x^3/3!+Ix^4/4!+......(注意到A^2=I)
再结合sinx和cosx的泰勒级数展开式，就可以发现，
cos(x)I = I-Ix^2/2!+Ix^4/4!-...
isin(x)A=iAx-iA^3x^3/3!+iA^5x^5/5!-......
所以就有
exp(iAx)=cos(x)I+isin(x)A

Answer 2

exp(iAx)=cos(x)I+isin(x)A ？ 是不是给错了？ 应该是这个吧？exp(iAx)=cos(Ax)+isin(Ax)