Question

如图，△acd是等边三角形，△abc是等腰直角三角形，∠acb=90°bd交ac宇e，ab=2

求cos∠cbe的值 求ae

Answer 1

解:∠ACB=90°,AB=2,设AC=BC=X,则:AC^2+BC^2=AB^2,X^2+X^2=4,X=√2.
则BC=AC=√2;三角形ACD为等边三角形,故AC=AD=CD=√2.
作DF垂直BC的延长线于F.
∠BCD=∠BCA+∠ACD=150°,则∠DCF=30°,DF=CD/2=√2/2,CD=√(CD^2-DF^2)=√6/2.
BD=√(BF^2+DF^2)=√[(BC+CF)^2+DF^2]=√(√3+1)^2=√3+1.
cos∠CBE=BF/BD=(√2+√6/2)/(√3+1)=(√6+√2)/4;
CE/BC=DF/BF,即:CE/√2=(√2/2)/(√2+√6/2),CE=2√2-√6;
故AE=AC-CE=√6-√2.

Answer 2

过E作EF垂直AB于F
设AE＝x
因AB=2，△ABC是等腰直角三角形，则AC=BC=根2，角ABC=角BAC=45度
又△ACD为等边三角形，则CD=AC=根2,角ACD=60度
则角BCD=角ACB+角ACD=90+60=150度
又BC=CD=AC，则角CBD=角CDB=（180度-角BCD）/2=15度
角ABE=角ABC-角CBE=45度-15度=30度
因EF垂直AB，则角AFE=角BFE=90度
则AF=EF=x/根2,BF=AB-AF=2-x/根2
因角ABE =30度,则BF/EF=根3
则(2-x/根2)/(x/根2)=根3
则x=根6-根2
BE =2EF=2x/根2=2根3-2
则cos角CBE=BC/BE=根2/(2根3-2)=(根6+根2)/4
所以cos∠cbe的值为(根6+根2)/4
AE的值为根6-根2

方法二 （提示如下)
过A作AM垂直BD于M
设AE=x,BE=y
AC=BC=根2,AM=1,BM=根3
EM=根3-y,CE=根2-x
三角形BCE相似AME
BC/AM=BE/AE=CE/EM
根2=y/x=(根2-x)/(根3-y)
解得x=根6-根2
y=2根3-2
cos角CBE=BC/BE=根2/(2根3-2)=(根6+根2)/4