Question

求助数学大神，一道因式分解竞赛题

为什么在对x,y,z分析的时候只用分析这几种情况？如果x,y,z相差很大怎么办？

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Answer 1

设u=x+y+z,v=xy+yz+zx,则
n=x^3+y^3+z^3-3xyz=u(u^2-3v).
性质 u是3的倍数，等价于u^2-3v是3的倍数。
我们有恒等式
k^3+k^3+(k+1)^3-3k^2*(k+1)=3k+1,
k^3+k^3+(k-1)^3-3k^2*(k-1)=3k-1,
k^3+(k-1)^3+(k+1)^3-3k(k-1)(k+1)=9k,
所以不是3的倍数或是9的倍数的整数(例如1,5,2014）具有性质P。
由性质，是3的倍数但不是9的倍数的整数(例如2013）不具有性质P。
以下是开头的解答过程。
(1)n=1,则x+y+z=1,且x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=1.
易知xy+yz+zx=0,
观察得x=y=0,z=1满足上述方程组，1具有性质P.
(2)n=5,由性质2，u^2-3v=1,u=5,v=8,
把z=5-x-y代入上式得xy+(x+y)(5-x-y)=8,①xy<=(x+y)^2/4,
(3/4)(x+y)^2-5(x+y)+8<=0,
8/3<=x+y<=4，
所以x+y=3或4.
x+y=3时①变为xy=2,有一整数解x=1,y=z=2,5具有性质P.
（3）n=2013=3*11*61,
u,u^2-3v,一个是3的倍数，另一个不是3的倍数，不可能。2013不具有性质P.
(4)n=2014=2*19*53.
(i)u^2-3v=1,u=2014.v=1352065,②
仿上，(x+y)^2/4+(x+y)(2014-x-y)>=1352065,
(3/4)(x+y)^2-2014(x+y)+1352065<=0,
1342<=x+y<=4030/3,
所以x+y=1342或1343.
x+y=1342时②变为xy=450241,
解得x=y=671,z=672,2014具有性质P.
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追问

就是这道题，但最好能写出带性质P的数的一般形式

追答

n=x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx),
(1)n=1,则x+y+z=1,且x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=1.
易知xy+yz+zx=0,
把z=1-x-y代入上式得xy+(x+y)(1-x-y)=1,
xy+x+y-(x+y)^2=1,
整理得x^2+x(y-1)+y^2-y+1=0,
△(x)=(y-1)^2-4(y^2-y+1)=-3y^2+2y-3<0,上述方程无实根，1不具有性质P.
(2)n=5,则x+y+z=1,且x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=5.
易知xy+yz+zx=-4/3,上述方程组无整数解。5不具有性质P.
(3)n=2013=3*671=3*11*61,
i)x+y+z=3,x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=671,
xy+yz+zx=-662/3,不可能。
ii)x+y+z=33,x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=61,
xy+yz+zx=1028/3,不可能。
iii)x+y+z=11,x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=183,
xy+yz+zx=-62/3,不可能
……
2013不具有性质P.
(4)n=2014=2*1007=2*19*53,
i)x+y+z=2,x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=1007,
xy+yz+zx=-1003/3,不可能。
ii)x+y+z=19,x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=106,
xy+yz+zx=85,
把z=19-x-y代入上式得xy+(x+y)(19-x-y)=85,
x^2+x(y-19)+y^2-19y+85=0,
△(x)=(y-19)^2-4(y^2-19y+85)
=-3y^2+38y-340<0,不可能。
iii)x+y+z=38,x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=53,
xy+yz+zx=1391/3,不可能。
iv)x+y+z=53,x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=38,
xy+yz+zx=2771/3,不可能。
？待续

Answer 2

大概看明白了意思。
只要x、y、z存在整数，满足f(x,y,z）=整数（n），则认为n这个整数存在性质P。
现在有1、5、2013、2014这4个替换n的数，看哪些具有性质P。
按我的理解是，应该首先证明哪些数值不满足性质P。如果都不满足，那就不需要进行类似穷举法了。
所以应该是先证明2013不符合性质P，图片中已解释了。
然后再利用假设的方法，寻找满足性质p的整数特征。
如果能用简单的假设方法，能找到这个整数特征，并可以解答剩下的1、5、2014这三个数是满足性质p的，那为什么要去做复杂的假设呢？
比如，x、y、z是整数，现在要证明存在x+y+z=3的情况，
最简单的就是假设x=y=z=1
PS：其实做其它的假设，应该也能找到1、5、2014是具有性质P的