Question

求问，n趋向于无穷 ，{（1^2）+(2^2)+.....+(n^2)}/(n^3)的极限怎么求？

Answer 1

分享一种解法，利用定积分的定义求解。
原式=lim(n→∞)(1/n)∑(k/n)²，其中k=1,2，……，n。
当n→∞时，1/n→0，k/n∈(0,1]。视“1/n”为“dx”、(k/n)为x，按照定积分的定义，∴原式=∫(0,1)x²dx=1/3。
供参考。

Answer 2

追问

请问第二步分母是如何出来的？

追答

这是一个公式：1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6；
如果不知道这个公式，可用：(n+1)²-n²=2n+1导出。
依次令n=1，n=2，n=3，。。。，n=n列出一列等式。
然后竖向相加，再整理即得；