Question

已知f(x)=2sinx/2cosx/2+αcos平方x/2,x=π/2是方程f(x)=0的根 （1）求a的值（2）当x属于【0，π】

当x属于【0，π】，求f(x)的值域 快！第二小题要全过程 ！！！！

Answer 1

f(x)=2sinx/2cosx/2+αcos²x/2=sinx+0.5α(cosx+1)
把x=π/2代入f(x)=0得到
1+0.5α=0
α=-2
f(x)=sinx-cosx-1=√2sin(x-π/4)-1
当x∈[0,π]时x-π/4∈[-π/4,3π/4]
∴√2sin(x-π/4)∈[-1,√2]
∴f(x)的值域为{f(x)|-2≤f(x)≤√2-1}

Answer 2

把X=2带入得a=-2。由于在网吧，不方便第二问。解f（x）求导的方程F（x）=0，分别算各零点的值，判断极大值和极小值，区间内的极大值和极小值就是值域。画草图容易求的。我大概给思路，解答过程留给别人。

Answer 3

f(x)=2sinx/2cos(x/2)+acos^2(x/2)
=2* 2sin(x/2)cos(x/2)/2cos(x/2) +acos^2(x/2)
=2sin(x/2)+a[1-sin^2(x/2)]
=-asin^2(x/2)+2sin(x/2)+a
f(π/2)=0
-asin^2(π/4)+2sin(π/4)+a=0
a=-2√2
所以f(x)=2√2sin^2(x/2)+2sin(x/2)-2√2
=2√2[sin(x/2)+√2/4 ]^2- 9√2/4
易知 x/2 ∈[0, π/2 ]
sin(x/2)∈[0, 1 ]
当 sin(x/2)=0时，f(x)min=-2√2
当 sin(x/2)=1时, f(x)max=2
故 -2√2<=y<=2