Question

n∈N+，n＞1，用数学归纳法证明1/2²+1/3²。。。+1/n²＜n-1/n

Answer 1

楼上的做法是正确的，不过LZ是要用数学归纳法
当n=2时，1/4<1/2成立
假设当n=k时成立1/2²+1/3²+……+1/k²＜(k-1)/k，那么当n=k+1时，
1/2²+1/3²+……+1/k²+1/(k+1)²<(k-1)/k+1/(k+1)²=1-1/k+1/(k+1)²
只要证明上式右面<k/(k+1)即可，即证1-1/k+1/(k+1)²<1-1/(k+1)
即证1/(k+1)²+1/(k+1)<1/k，通分
即证k+(k+1)k<(k+1)²，显然成立
所以当n=k+1时，1/2²+1/3²+……+1/k²+1/(k+1)²<k/(k+1)

Answer 2

1/2平方+1/3平方+……+1/n平方<1/(1*2)+1/(2*3)+……+1/(n*(n-1))=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+……+1/(n-1)-1/n=1-1/n=(n-1)/n ,做完之后发现是数学归纳法，不好意思。