Question

为什么求极限时有时不能用无穷小等价代换？

请问，sin3x/x^3这样求极限趋于0时，为什么不能把sin3x等价为3x？？

Answer 1

如果你说的是 (sin3x)/(x^3)，这是可以在x趋于0时把sin3x等价为3x的。
但如果是 sin(3x/x^3)，这种就肯定不行了，使用等价无穷小的前提是 这个无穷小是整个式子的分子或分母的因子。

追问

请问这个可以把两项分开求极限，然后把sin3x等价成3x吗，可是这样算出来跟答案不一样

追答

这里不可以分开求极限，因为 sin3x/x^3 的极限是不存在的，如果两项的极限都存在，则没问题。
如果你说的是将 [sin3x + xf(x)] / x^3 化成 [3x + xf(x)] / x^3，这也是不行的，这是分子的加数部分，不能用等价无穷小代换。

Answer 2

如果是乘除，一般都可以用无穷小等价代换，如果有加减，用无穷小等价代换就有可能出现错误，用麦克劳林展式代换要注意取舍项数
(sinx-x)/x^3：
sinx用x代换得0，用x-x^3/6代换得1/6，后者正确

Answer 3

lim(x->0) sin3x/ x^3
=lim(x->0) 3x/ x^3
=lim(x->0) 3/ x^2
不存在