Question

定理5：线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)。见下面

定理3：n元线性方程组Ax=b，无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)。定理5和定理3是相等的，这是怎么回事呢？求高手！下面放了两张图，左面放的是定理3，右面放的是定理5，求指教？

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Answer 1

注:由于非齐次线性方程组AX=b有解的充分必要条件是 r(A)=r(A,b)
所以只需证明:r(A) = m 时,必有 r(A)=r(A,b).
证明:因为r(A) = m
所以 A 的行向量组的秩 = m
而A是m×n矩阵
所以 A 的行向量组线性无关.
又由线性无关的向量组添加若干个分量仍线性无关 (这是定理)
所以 (A,b) 的行向量组线性无关
所以 (A,b) 的行向量组的秩 = m
所以 r(A,b) = m = r(A).
故非齐次线性方程组AX=b有解 #
注:r(A)

追问

我的问题不是你回答的，谢谢你！你讲的是证明，我讲的是定理5和定理3是不是一样的，不是讲证明的事。

Answer 2

定理3（i）说的是如果r(A)<r(A,b)就无解，而r(A)<=r(A,b)，所以他等价于说r(A)=r(A,b)时有解，也就是定理5，你的问题在哪？啥叫定理3/定理5相等？

追问

谢谢你，我知道了！

谢谢你，我知道了！