求解高数题,是关于利用单调性证明极限存在的,只需要帮忙证明出单调性即可,谢谢

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729707767
2011-08-23 · TA获得超过1.5万个赞
知道大有可为答主
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1. x(n+1) = 1+x(n)/[1+x(n)]
用归纳法证明,当n>1时, 1<x(n)<2,.
x(n+1)-x(n)= ...... = [ 2-x(n) ] * x(n) / [1+x(n) ] >0, 即 {x(n)}单增。
2. x(n+2)= (1/2)[ x(n)+x(n+1)]
=> x(n+2) - x(n+1) = (-1/2) [x(n+1) - x(n) ]
设 b(n) = x(n+1)-x(n), {b(n)} 是首项 b-a, 公比 (-1/2)的等比数列。
b(n) = (b-a) * (-1/2)^(n-1)
x(n) = x1 + (b- a) + (b-a)*(-1/2) + ...... + (b-a) * (-1/2)^(n-2)
Limit x(n) = a + (b-a)/(1+1/2) = (a+2b)/3
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追问
第一个好像有些出入吧,x(n+1)-x(n)得不到后面的式子, 1<x(n)<2到是关键
x(n+1)/x(n)=(2-Xn)/[Xn*(1+Xn)] 小于1得出递减。递减有下限故极限存在可求。
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1. 如果题目是:      x(1)=2, x(n+1) = 2 + x(n)/[1+x(n)]
=》 x(n+1)-x(n)= ...... = [ 2-x(n) ] * x(n) / [1+x(n) ] > 0, 即 {x(n)}单增。

用归纳法证明 x(1)=1, x(n+1) = 1+x(n)/[1+x(n)] => {x(n)} 单增。
假设 x(n)> x(n-1), x(n+1) = 2 - 1 /[1+x(n)] > 2 - 1 /[1+x(n-1)] = x(n)
晨韬
2011-08-24
知道答主
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1。 Xn+1 = 1+Xn/(1+Xn)
n>1时,可证1<Xn<2,
Xn+1-Xn = [1+2Xn/(1+Xn)]-Xn = 1-Xn(1+Xn)/1+Xn < 0
{x(n)}单调递减。
2。 Xn+2= (1/2)(Xn+Xn+1) 等价于 Xn+2 - Xn+1 = (-1/2) (Xn+1 - Xn)
令T(n)=Xn+1 - Xn T(n)的头一项是b-a 公比q=-1/2
有通项公式得T(n) = (b-a)(-1/2)^(n-1)
Xn = X1 + (b- a) + (b-a)(-1/2) + ...... + (b-a)(-1/2)^(n-2)
Lim(n->无穷大)Xn=a + (b-a)/(1+1/2) = (a+2b)/3
更多追问追答
追问
不好意思额,第一题的我怎么看还是不对额,麻烦你看下呢。
追答
化简出错:[1+2Xn/(1+Xn)]-Xn=1-Xn-Xn^2/(1+Xn)< 0
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