Question

y=(1+sinX)/(3+COSX)的求值域的过程？

Answer 1

法1：y=kx中k为直线的斜率
把原式看作：
k=y/x=(1+sinx)/(3+cosx)
其中Y=1+sinx
X=3+cosx
容易看出
(Y,X)表示以P(3,1)为圆心，1为半径的圆
那么
k表示原上的点与原点连线的斜率
显然当直线与圆相切时有最值(切点A)
其中最小值可以直接从图上看出
x轴与圆相切于B点
此时取得最小值
k=0
tan(角AOP)=PA/AO=1/3
k(AO)=tan(角BOP+角AOP)=[tan(角BOP)+tan(角AOP)]/[1-tan(角BOP)*tan(角AOP)]=3/4
因此k的值域是[0，3/4]
也就是说y的值域是[0，3/4]
法2：
y=(1+sinx)/(3+cosx)
3y+ycosx=1+sinx
sinx-ycosx=3y-1
√(1+y^2)sin(x-a)=3y-1 (sina=y/√(1+y^2))
sin(x-a)=(3y-1)/√(1+y^2)
∴I3y-1I/√(1+y^2)≤1
9y^2-6y+1≤y^2+1
8y^2-6y≤0
0≤y≤3/4

Answer 2

y'=(3cosx+sinx+1)/(3+cosx)²=0时，有极值；则3cosx+sinx+1=0，得：sinx=-1或sinx=4/5，相应得：cosx=0或cosx=-3/5；代入y=(1+sinX)/(3+COSX)，得：y=0或y=3/4，值域[0,3/4]。

Answer 3

法1：化为y(3+COSX)=(1+sinX)，sinX－yCOSX=3y－1，√﹙1＋y²﹚×sin﹙X－α﹚＝3y－1,
∵－1≤sin﹙X－α﹚≤1,∴，|3y－1|≤√﹙1＋y²﹚,解得：0≤y≤3/4.
法2:数形结合，把y=(1+sinX)/(3+COSX)看作单位圆x²＋y²＝1上的点﹙cosx,sinx﹚与定点﹙－3,－1﹚连线的斜率k,作图，设直线方程为：y+1=k(x+3),由点到直线的距离公式得到：
|3k－1|≤√﹙1＋k²﹚,解得：0≤k≤3/4,∴0≤y≤3/4.