Question

已知向量a=(1,1),向量b=(1,-1),c=(√2cosα,√2sinα),实数m,n满足ma+nb=c,则(m-3)^2+n^2的最大值是

RT

Answer 1

向量a=(1,1),向量b=(1,-1),c=(√2cosα,√2sinα),实数m,n满足ma+nb=c所以有：
m+n=√2cosα
m-n=√2sinα解得：m=sin(a+π/4),n=cos(a+π/4)
为了简化令 r=a+π/4 于是有：m=sinr,n=cosr
(m-3)^2+n^2
=m^2-6m+9+n^2
=(sinr)^2-6sinr+9+(cosr)^2
=10-6sinr 显然当sinr=-1时有最大值，为16

Answer 2

ma+nb=(m+n,m-n)=c=(cosa√2,sina√2)
m+n=cosa√2,m-n=sina√2
m=(√2/2)(cosa+sina)=sin(a+π/4)
n=(√2/2)(cosa-sina)=cos(a+π/4)
(m-3)^2+n^2=m^2+n^2-6m+9
=10-6sin(a+π/4)≤16
最大值16

Answer 3

由ma+nb=c,有m+n=根号2cona,m-n=根号2sina,由此解出m,n
代入(m-3)^+n^2得正弦、余弦函数关系式，好求