Question

高数问题！

求 y平方+z平方的三重积分，积分区域为曲线：y平方=2x绕着x轴旋转所得的曲面与x=5所围成的区域，即y平方+z平方=2x与x=5所围成的区域。请问第一种方法先积分x再积分r为什么积分不出来

Answer 1

首先第一种方法中你按照变量x,r,cita的顺序积分是可以的，而且上下限也是正确的，错在中间对r积分时的原函数求错了，应该是5r^4/4-r^6/12。这是个低级失误，不应该看不出来。
其次第二种方法中按照变量r,x,cita的顺序积分也是可以的，可以说在一般情况下重积分中按照哪种顺序积分都是可以的(存在个别函数不可以！)，关键的就是求出相应的积分上下限来，只是有时上下限容易求出，有时比较难求出而已。这种练习在一开始学习重积分的时候就应该遇见过多次了。

Answer 2

第一种方法的积分表达式是对的，计算过程中的5r^4/12应该是5r^4/4。

Answer 3

x的范围是r²/2到5，r的范围是0到根号10，θ的范围是0到2π，你的范围没错，式子也没错，只有算错了。
5r^4/12应该是5r^4/4。