Question

已知数列an的首项a1=5,前n项和为Sn,且S(n+1)=2Sn+n+5（n∈N*），求证：数列｛an+1｝是等比数列

Answer 1

证明：因为S(n+1)=2Sn+n+5
Sn=2S(n-1)+n-1+5(n>=2)
两式相减得
a(n+1)=2an+1
两边同时加1，即
a(n+1)+1=2(an+1)
因为a1=5，所以an+1不会出现0项
所以数列｛an+1｝是公比为2的等比数列

Answer 2

证明：
S(n+1)=2Sn+n+5
Sn=2S(n-1) + n-1 +5
两式相减：
a(n+1)=2an+1
上式可以写成：
an = 2a(n-1)+1
an+1 = 2[a(n-1) + 1]
所以：an +1 是公比为2，首先为6的等比数列

Answer 3

a(n+1) = S(n+1) - S(n) = 2S(n)+n+5-S(n) = S(n) + n + 5
a(n+1) + 1 = S(n) + n + 6
a(n) + 1 = S(n -1) + n + 5
[a(n+1) + 1] - [a(n) + 1] = S(n) - S(n-1) +1 =a(n) + 1
所以a(n+1) + 1 = 2[a(n) + 1]
a(1) + 1 = 6 不为0，所以a(n) + 1是等比数列

Answer 4

原式移项的 a(n+1)=Sn+n+5
所以an=S(n-1)+n-1+5=S(n-1)+n+4
俩式相减得 a(n+1)-an=an+1
a(n+1)=2an+1
a(n+1)+1=2an+1+1=2(an+1）
a(n+1)+1除以an+1=2
即数列｛an+1}是以a1+1=6 q=2的等比数列