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let
e^x = sinu
e^x dx = cosu du
∫arcsin(e^x)/ e^x dx
=-∫arcsin(e^x) de^(-x)
=-e^(-x) .arcsin(e^x) +∫dx /√[1- e^(2x)]
=-e^(-x) .arcsin(e^x) +∫ cosu du/[(sinu).(cosu)]
=-e^(-x) .arcsin(e^x) +∫ cscu du
=-e^(-x) .arcsin(e^x) +ln|cscu -cotu| + C
=-e^(-x) .arcsin(e^x) +ln| 1/e^x -√[1- e^(2x)/e^x| + C
=-e^(-x) .arcsin(e^x) +ln|1-√[1- e^(2x)| -x + C
e^x = sinu
e^x dx = cosu du
∫arcsin(e^x)/ e^x dx
=-∫arcsin(e^x) de^(-x)
=-e^(-x) .arcsin(e^x) +∫dx /√[1- e^(2x)]
=-e^(-x) .arcsin(e^x) +∫ cosu du/[(sinu).(cosu)]
=-e^(-x) .arcsin(e^x) +∫ cscu du
=-e^(-x) .arcsin(e^x) +ln|cscu -cotu| + C
=-e^(-x) .arcsin(e^x) +ln| 1/e^x -√[1- e^(2x)/e^x| + C
=-e^(-x) .arcsin(e^x) +ln|1-√[1- e^(2x)| -x + C
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