Question

已知实数x，y，z 要满足x+y+z=a，x²+y²+z²=a²/4（a﹥0） 求证：0≤x，y，z≤2a/3

Answer 1

x,y,z属于R,x+y+z=a（a﹥0）,x^2+y^2+z^2=a^2/2,
求证：0≤x≤2a/3,0≤y≤2a/3,0≤z≤2a/3
【解】
2(x^2+y^2)- (x+y)^2=(x-y)^2≥0，
所以(x+y)^2≤2(x^2+y^2)

因为x+y =a-z, x^2+y^2=a^2/2-z^2,
由(x+y)^2≤2(x^2+y^2)得
(a-z)^2≤2(1/2*a^2-z^2)=a^2-2z^2
整理得z(3z-2a)<=0
所以0≤z≤(2/3)a
同理可得0≤y≤2a/3,0≤z≤2a/3

Answer 2

假设,x,y,z均大于0
则可用均值不等式得 (x+y+z)^2<=3(x^2+y^2+z^2)
将条件带入式子,得: a^2<= 3/4 X a^2
显然,矛盾
故,X,Y,Z中必有一个或几个不大于0

所以,题目错了!

Answer 3

因为x+y+z=a，所以x+y=a-z
x²+y²≥(（x+y)/2)²=((a-z)/2)²
a²/4=x²+y²+z²≥z²+(（x+y)/2)²=z²+((a-z)/2)²
解得0≤z≤2a/5≤2a/3
同理可得0≤x≤2a/5≤2a/3
0≤y≤2a/5≤2a/3
所以0≤x，y，z≤2a/3