一道高数题求助,答案是非极值
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由lim(x→0,y→0)[f(x,y)-axy]/(x^2+y^2)^2=1,有
[f(x,y)-axy]/(x^2+y^2)^2=1+α, 其中lim(x→0,y→0)α=0.
⥤ f(x,y)=(1+α)(x^2+y^2)^2+axy. ①
利用①式考察f(0,0)是否极值,容易看出f(0,0)=0,但在点(0,0)的无论多小的邻域内,都既有使xy>0的点(x,y)存在,也有使xy<0的点(x,y)存在(从z=xy的图形是马鞍面很容易看到这一点)。而在点(0,0)的足够小的去心邻域内①式右端的值的符号取决于axy(因为前一项当ρ=√(x^2+y^2)→0时是高阶无穷小),这样就在点(0,0)的无论怎样小的去心邻域内,都有点(x,y)使得f(x,y)>0=f(0,0),也都有点(x,y)使得f(x,y)<0=f(0,0).所以,f(0,0)不是极值。
[f(x,y)-axy]/(x^2+y^2)^2=1+α, 其中lim(x→0,y→0)α=0.
⥤ f(x,y)=(1+α)(x^2+y^2)^2+axy. ①
利用①式考察f(0,0)是否极值,容易看出f(0,0)=0,但在点(0,0)的无论多小的邻域内,都既有使xy>0的点(x,y)存在,也有使xy<0的点(x,y)存在(从z=xy的图形是马鞍面很容易看到这一点)。而在点(0,0)的足够小的去心邻域内①式右端的值的符号取决于axy(因为前一项当ρ=√(x^2+y^2)→0时是高阶无穷小),这样就在点(0,0)的无论怎样小的去心邻域内,都有点(x,y)使得f(x,y)>0=f(0,0),也都有点(x,y)使得f(x,y)<0=f(0,0).所以,f(0,0)不是极值。
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xy趋于(0,0)时极限为1,根据极限保号性,那么xy在(0,0)的某个邻域内,极限>0,分母显然大于0,所以分子f(x,y)-axy也大于0,即f(x,y)>axy。
由已知条件,将(0,0)带入极限表达式,分母趋于0+,分子f(0,0)-axy也要趋于0+,所以f(0,0)=0要使f(0,0)为极值点就要f(x,y)<f(0,0)=0或者f(x,y)>f(0,0)=0。但是题目只能推出f(x,y)>axy,axy在(0,0)某邻域内显然符号可正可负。因此不能推出f(0,0)为极值点。
补充:这个题如果分母变成f(x,y)-x^2那么f(0,0)就是极小值点了,因为这时f(x,y)>x^2>0=f(0,0),即在(0,0)某邻域内,有f(x,y)>f(0,0),希望题主对比着理解分析。
由已知条件,将(0,0)带入极限表达式,分母趋于0+,分子f(0,0)-axy也要趋于0+,所以f(0,0)=0要使f(0,0)为极值点就要f(x,y)<f(0,0)=0或者f(x,y)>f(0,0)=0。但是题目只能推出f(x,y)>axy,axy在(0,0)某邻域内显然符号可正可负。因此不能推出f(0,0)为极值点。
补充:这个题如果分母变成f(x,y)-x^2那么f(0,0)就是极小值点了,因为这时f(x,y)>x^2>0=f(0,0),即在(0,0)某邻域内,有f(x,y)>f(0,0),希望题主对比着理解分析。
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