Question

已知函数f(x)=x∧3-3x及y=f(x)上一点P(1,-2)，过点P作直线L.1. 求是直线L和y=f(x)相切，且以P为切点的直线

已知函数f(x)=x∧3-3x及y=f(x)上一点P(1,-2)，过点P作直线L.1. 求是直线L和y=f(x)相切，且以P为切点的直线方程；2. 求是直线L和y=f(x)相切，且切点异于P的直线方程。

Answer 1

已知函数f(x)=x^3-3x及y=f(x)上一点P(1，-2)，过点P作直线L
1）若直线L和y=f(x)相切，且以P为切点的直线L方程
2）若直线L和y=f(x)相切，且切点异于P的直线L方程

对于此提名有两种方法，如果学习了导数，那么求曲线的切线方程就很容易了
如果没有学习导数，那么就得用图像分析，切线与曲线组成方程的解的个数来求切线方程。
....................................................................................................................................................

【导数求法】
问题一：
1）若直线L和y=f(x)相切，且以P为切点的直线L方程
解：设函数f(x)=x^3-3x 的导数为函数f(x)'=y'，
以P为切点的直线方程为Y，其切线L的斜率为k；则根据题意得：
∵ 函数f(x)=x^3-3x 【^n表示n次幂；x^4表示x的4次方】
∴ f(x)'=y'=[x^3]'+[-3x]'
=3x²+×[-3]'×x+(-3)×[x]'
=3x²+0×x-3×1
=3x²-3
∵ y=f(x)上一点P(1,-2)，过点P作直线L，直线L和y=f(x)相切,
f(x)'=y'=3x²-3的切线L的斜率k
k=y'|(x=1) 换句话说：f(x)的导数f(x)'=y'在P(1，-2)时值，为切线L的斜率k
=3×(1)²-3
=0
∴ 切线L方程为：y-yp=f(xp)'(x-xp) 【xp为：x字母右下角写p，表示p点的x的值，yp同理】
y-(-2)=f(1)'(x-1)
y+2={3×(1)²+3}×(x-1)
y=0×(x-1)-2
=-2
所以，P的直线L方程：Y=-2

问题二：
2）若直线L和y=f(x)相切，且切点异于P的直线L方程
解：设函数f(x)=x^3-3x 的导数为函数f(x)'=y'，
直线L函数式为Y，切点为G(a，b)，其切线L的斜率为k1；则根据题意得：
∵ 函数f(x)=x^3-3x 【^n表示n次幂；x^4表示x的4次方】
∴ f(x)'=y'=[x^3]'+[-3x]'
=3x²-3
∵ y=f(x)上一点P(1，-2)，L和y=f(x)相切，且切点异于P点为G(a，b)
∴ 切线L方程为：Y-yG=f(xG)'(x-xG) 【xG为：x字母右下角写G，表示G点的x的值，yG同理】
Y-b=f(a)'(x-a)
Y-b=(3a²-3)(x-a)
Y=(3a²-3)(x-a)+b 等式①
∵ y=f(x)上一点P(1，-2)，过点P作直线L
∴ 把P(1，-2)代入等式①中得到：
-2=(3a²-3)(1-a)+b
3a^3-3a²-3a+3-b=2 等式②

∵ L和y=f(x)相切，且切点异于P点为G(a，b)
∴ f(x)=x^3-3x
f(a)=b=a^3-3a
b=a^3-3a 等式③

把等式②、等式③组成方程组，将：等式③代入等式②得到：
3a^3-3a²-3a+3-b=2
3a^3-3a²-3a+3-(a^3-3a)=2
3a^3-3a²-3a+3-a^3+3a=2
2a^3-3a²+1=0
(2a^3-2a²)-(a²-1)=0
2a²(a-1) -(a-1)(a+1)=0
(a-1)( 2a²-a-1)=0
(a-1)( 2a+1)(a-1)=0
(a-1)²( 2a+1)=0
解方程得到：a=1 a=-1/2 代入等式③得到：
b=-2 b=11/8
∴ 切点G点坐标为(1，-2) ，或(-1/2，11/8)，

∵ y=f(x)上一点P(1，-2)，过点P作直线L，切点G(a，b)异于P点的直线L
a=1，切点G点坐标为(1，-2) 与P(1，-2)重合，这与切点G(a，b)异于P点矛盾
∴ 切点G点坐标为(-1/2，11/8)

∴ 切点G(-1/2，11/8)，代入等式①中求得切线L的方程为：
Y=(3a²-3)(x-a)+b
Y={3(-1/2)²-3}{x-(-1/2)}+11/8
=(-9/4)(x+1/2)+11/8
=-(9/4)x-(9/8)+11/8
=-(9/4)x-(9/8)+11/8
=-(9/4)x+1/4
综合上所述：
若直线L和y=f(x)相切，且切点异于P的直线L方程为：Y=-(9/4)x+1/4

..............................................................................................................................................

【其它方法】：非导数的方法
问题一：
1）若直线L和y=f(x)相切，且以P为切点的直线L方程
解：设以P(1，-2)为切点的直线L表示为F(x)，解析式为：Y-(-2)=k(x-1) ➡ F(x)=Y=k(x-1)-2
∵ 直线L和y=f(x)相切
∴ f(x)-F(x)=0只有唯一的一个交点，此交点就是直线L和y=f(x)的切点P(1，-2)
（若有两个交点则F(x)不是f(x)的切线，而是割线）
∴ f(x)=x^3-3x，F(x)=Y=k(x-1)-2，代入f(x)-F(x)=0得到：
x^3-3x-[k(x-1)-2]=0
x^3-3x-kx+k+2=0
x^3-(k+3)x+(k+3)-1=0
(x^3-1)-[(k+3)x-(k+3)]=0
(x-1)(x²+x-k-2)=0
解方程得到：x=1，
x=[-1±√(1-4(-k-2))]/2 【说明：√()表示()中的开根号】
=[-1±√(4k+9)]/2
∵ f(x)-F(x)=0只有唯一的一个交点，那么f(x)-F(x)=0只有一个根 x=1，则：
∴ x=1=[-1±√(4k+9)]/2
2=-1±√(4k+9)
3=±√(4k+9) （等式两边平方）
4k=0
k=0
把k=0，代入以P(1，-2)为切点的直线L的解析式F(x)=Y=k(x-1)-2中得到：
Y=0×(x-1)-2 ➡ Y=-2
综上所述， 以P(1，-2)为切点的直线L方程：Y=-2

问题二：
2）若直线L和y=f(x)相切，且切点异于P(1，-2)的直线L方程
解：设切点异于P(1，-2)的直线L的解析式为：F(x)=Y=k(x-1)-2
∵ f(x)=x^3-3x ，设T>x>1
f(T)-f(x)=T^3-3T-(x^3-3x)
=T^3-x^3-3(T-x)
=(T-x)(T²+Tx+x²-3)
以T为自变量的函数解析式：T²+Tx+x²-3=0
△=x²-4(x²-3)
=-3x²+3
T>x>1 ➡ T-x>0，
-3x²+3<0 ➡ △=-3x²+3<0 ➡ T²+Tx+x²-3恒大于0
∴ f(T)-f(x)>0，则f(x)=x^3-3x ，在>x>1的部分单调递增；
∵ 直线L和y=f(x)相切切点异于P(1，-2)；
∴ f(x)-F(x)=0只有唯一的两个交点，一个交点为P(1，-2)，另一个为切点。
（若有三个交点，则过交点P(1，-2)直线F(x)与f(x)的另外2个交点，组成的线段不与f(x)切线，而是割线）
∴ f(x)=x^3-3x，F(x)=Y=k(x-1)-2，代入f(x)-F(x)=0得到：
x^3-3x-[k(x-1)-2]=0
x^3-3x-kx+k+2=0
(x-1)(x²+x-k-2)=0
∵ 解方程得到：x=1，x²+x-k-2且只能有一个根，则：
△=1-4(-k-2)=0
4k+9=0
k=-9/4
把k=-9/4，代入以P(1，-2)为切点的直线L的解析式F(x)=Y=k(x-1)-2中得到：
Y=(-9/4)(x-1)-2
=-(9/4)x+9/4-2
=-(9/4)x+1/4
综合上所述：
若直线L和y=f(x)相切，且切点异于P(1，-2)的直线L方程为：Y=-(9/4)x+1/4

Answer 2

解1.函数f(x)=x∧3-3x的导数y‘=3x^2-3,过点P（1，-2）的斜率k=31^2-3=0，所以
以点P的切点的切线方程为y=-2；
2.设过点P（1，-2）的切线方程为y=kx+b，则有-2=k*1+b，得到k+b=-2，设y=f（x）上的切点为（x0,x0^3-3x0），则有k=3x0^2-3，x0^3-3x0=kx0+b，解得x0=1（舍去）或-1/2，k=-9/4，b=1/4，所以方程L为y=-9x/4+1/4