Question

正六边形的面积是18，则它的外接圆与内切圆所围成的圆环面积为

要过程，以及内切圆定义

Answer 1

分析：过正六边形各顶点的圆是它的外接圆。与正六边形各边都相切的圆是它的内切圆。由于过切点的半径垂直于切线，所以内切圆的半径也即是正六边形的边心距。这两圆所围成的图形为圆环。
解：设正六边形的边长为a，则它的边心距为h=√3/2a，由正六边形面积S=6*1/2*a*√3/2a=18，
解得a^2=4√3，h^2=3√3，则圆环的面积=大圆面积-小圆面积=πR^2-πr^2=π(R^2-r^2)
=π(4√3-3√3)=√3π≈5.44。

Answer 2

可以将正六边形分成6个相等的正三角形，每个三角形面积为3。设每个三角形边长为a，则有
（√3）a²/4=3。
内切圆的半径，即为三角形的高，即（√3）a²/2，面积为（3/4）a²π
外切圆的半径，即为三角形的边长，即a，面积为a²π
所以，圆环面积为a²π-（3/4）a²π=（1/4）a²π
代入a的值，面积为√3π

Answer 3

正六边形边长为2×3^¼
正六边形的外接圆半径2×3^¼
正六边形的内切圆半径3^(-¼)
它的外接圆与内切圆所围成的圆环面积为11π√3/3

与多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆。
特殊地，与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。
三角形一定有内切圆，其他的图形不一定有内切圆，且内切圆圆心定在三角形内部。

Answer 4

解：如图所示，设正多边形的边长为a，
∵正六边形的面积是18 ，
∴△OAB的面积是3 ，即 AB•OA•sin60°=3 ， a2• =3 ，
∴a=2 ，
∴OD=OA•sin60°=2 • =3，
∴S圆环=S外接圆-S内切圆=π•（2 ）2-π•32=12π-9π=3π．