Question

正三棱锥P-ABC的四个顶点在同一球面上，已知AB=2√3,PA=4,则此球的表面积是(详解）

Answer 1

取三角形的重心为G,连接PG并延长交球面于F,则PF为球面的直径.且PG垂直于平面ABC.(因为是正棱锥) 再连接AF,知APF在球面的一个大圆上.角PAF为直角.
连接AP,在三角形AGP中,角落AGP为直角,AP=4,
AG=[(根号3)/2]*AB*(2/3)=2 (中线性质), 求得sin(角APG) =2/4=1/2. 角APF=30度.
由此,在三角形APF中可求得:PF=8/(根号3)=(8*根号3)/3,
从而 球的表面积为S= 4*(pi)*[(4根号3)/3]^2 =64pi/3.

追问

为什么
AG=[(根号3)/2]*AB*(2/3)=2

Answer 2

取P在ABC的垂足为D，BC的中点为E，
因为是正三棱锥P-ABC，所以AB=AC=BC=2√3
进一步求得AE=3，AD=2
在三角形PAD中，设点F，令AF=PF，根据AD垂直PA，AD=2，PA=4
得到角APD=30度=角PAF=角DAF
进一步求得AF=4√3/3
即球的半径为三分之四根号3
然后找球体的表面积公式算出来（很长时间不做这个了，理论上应该是这样的）

追问

AD垂直于PD