Question

定积分的性质问题

如图
请问这个π/2是怎么得出来的。正常情况下不应该是将t消除后乘1/2吗？

Answer 1

证：
n=1时，S1=a1 T1=a12，代入(Sn-2)2+3Tn=4
(a1-2)2+3a12=4
整理，得
a12-a1=0
a1(a1-1)=0
数列各项均为正，a1≠0，因此只有a1=1
n≥2时，
(Sn -2)2+3Tn=4 (1)
[S(n-1)-2]2+3T(n-1)=4 (2)
(1)-(2)
Sn2-4Sn+4+3Tn-S(n-1)2+4S(n-1)-4-3T(n-1)=0
[Sn+S(n-1)][Sn-S(n-1)]-4an+3an2=0
an[Sn+S(n-1)]+3an2-4an=0
an[Sn+S(n-1)+3an-4]=0
an(Sn+Sn-an+3an-4)=0
2an(Sn +an-2)=0
an>0，因此只有Sn+an -2=0
Sn=-an+2
S(n-1)=-a(n-1)+2
Sn-S(n-1)=an=-an+2+a(n-1)-2
2an=a(n-1)
an/a(n-1)=1/2，为定值。
数列{an}是以1为首项，1/2为公比的等比数列。
2.
an=1×(1/2)^(n-1)=1/2^(n-1)
an2=1/2^(2n-2)
a(n+1)2/an2=[1/2^(2n)]/[1/2^(n-1)]=1/4
Sn=1×(1-1/2)/(1-1/2)=2 -1/2^(n-1)
Tn=1×[1-(1/4)]/(1-1/4)=(4/3)[1-1/2^(2n)]
Sn2-λTn<0
λTn>Sn2
λ>[2-1/2^(n-1)]2/{(4/3)[1-1/2^(2n)]}
[2-1/2^(n-1)]2/{(4/3)[1-1/2^(2n)]}
=3(1-1/2)2/[(1+1/2)(1-1/2)]
=3(1-1/2)/(1+1/2)
=3(2-1)/(2+1)
=3[(2+1-2)/(2+1)]
=3[1- 2/(2+1)]
=3- 6/(2+1)
随n递增，2单调递增，2+1单调递增，6/(2+1)单调递减，3-6/(2+1)单调递增。当n=1时，
3-6/(2+1)有最小值1，要不等式恒成立，λ>1
3.
an，2^x×a(n+1)，2^y×a(n+2)成等差数列，则
2×2^x×a(n+1)=an+2^y×a(n+2)
2^(x+1)×1/2=1/2^(n-1)+2^y×1/2^(n+1)
等式两边同乘以2^(n+1)
2^(x+2)=4+2^y
2^(x+2) -2^y=4
等式两边同除以4
2^x -2^(y-2)=1
底数2为偶数，当x>1 y-2>1时，2^x，2^(y-2)均为偶数，差为偶数，等式右边1为奇数，要等式成立，只有2^(y-2)为奇数，y-2=0，y=2，此时x=1
x=1 y=2，只有一组解。

追问

好像和我的提问不相关吧？