Question

两道关于导数的题目

1.证明：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数
1.如果f'(0)为偶函数，f' （0）存在 ，证明f（0）=0
希望过程详细些 且是标准答案 谢谢 o(∩_∩)o...
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1.如果f'(0)为偶函数，f' （0）存在 ，证明f'（0）=0
嘻嘻 出错了

Answer 1

楼上1的证明也太麻烦了，直接用复合函数求导就可以！
第2题仍然有问题。
1. 证明：假设f(x)为奇函数，且f(x)在实数域上可导，那么对于任何的x,由于：
f(x)+f(-x)=0,
两边求导得到：
f'(x)-f'(-x)=0,即
f'(x)=f'(-x)。
因此对于任何的x,f'(x)=f'(-x)。因此f'(x)为偶函数。

假设f(x)为偶函数，且f(x)在实数域上可导，那么对于任何的x,由于：
f(x)=f(-x)
两边求导得到
f'(x)=-f'(-x)
即f'(x)+f'(-x)=0对任意实数x成立。所以f'(x)是奇函数。
证毕。

2.如果f'(x)为偶函数，则对于任意的实数x，f'(x)=f'(-x)。
对任意的实数k>0,两边求定积分，得到：
∫_0^k(f'(x))dx=∫_0^k(f'(-x))dx
因此f(k)-f(0)=f(0)-f(-k)。
但是做到这里已经发现题目不对了。
反例：如果f(x)=x^3+1，那么f'(x)=3x^2为偶函数，但是f(0)=1.

这样改题目也不对！
反例：如果f(x)=x^3+x,那么f'(x)=3x^2+1。所以f'(x)是偶函数，但是f'(0)=1

Answer 2

一：题目要加个前提！在可导的情况下！

设 f(x)为可导的偶函数。f(x)=f(-x)
g(x)为f(x)的导函数。

对于任意的自变量位置 x0
g(x0) = lim[f(x0+dx)-f(x0)]/dx
g(-x0) = lim[f(-x0+dx)-f(-x0)]/dx = lim[f(x0-dx)-f(x0))/dx

f(x)可导，其左右导数相等。
即：lim[f(x0+dx)-f(x0)]/dx = lim[f(x0)-f(x0-dx)]/dx
上面这个等式中，左端就是 g(x0)的表达式，而右端即为 -g(-x0)的表达式。

即 g(x0) = - g(-x0)

x0 具备任意性，因此 g(x) = - g(-x)
即在 f(x)是可导偶函数前提下，其导函数是奇函数。求证命题成立。

同理也可以证明“可导奇函数的导数是偶函数”！

二：题目错了 应该是这样的 如果f(x)是偶函数，且f'(0)存在，求证：f'(0)=0
由于f(x)为偶函数，有f(-x)=f(x)
则[f(-x)]'=[f(x)]'
-f'(x)=f(x) 即f'(x)为奇函数
由于若即函数在X=0处存在，则一定过原点
故有f'(0)=0

Answer 3

1。由奇函数定义F(X)=-F(-X)
所以F'(X)=-(-F(-X))=F(-X)
得证
第二题你是不出错了？F'(0)?

Answer 4

1.若F(X)为奇函数,G(Y)为偶函数
则由F(X)=-F(-X),G(Y)=G(-Y);
对两个等式两边分别求导得
F'(X)=F'(-X),G'(Y)=-G'(-Y);
即证
2.题目确实有问题,第一个f'(0)是f'(x)吧?