Question

不用余弦定理，谁能做出这道数学几何题

在△ABC中,CE平分∠ACB,AC=8cm,AB=12cm,BC=10cm,过B作BD‖CE,求BD的长
以初三的水平 余弦定理我们没学过 。
也许可以将余弦定理的证明过程带进去写
但不要直接带余弦定理 ，
我知道答案是15cm 有可能要用到三角形内角平分线定理
O(∩_∩)O谢谢你们。。

Answer 1

这个题目不用余弦定理
因为BD‖CE，CE平分∠ACB
∴∠CBD=∠D
∴CD=CB=10

∵AB/AD = 12/(AC+CD)=12/(AC+CB)=12/18 = 2/3
AC/AB=8/12=2/3
∴AB/AD=AC/AB
又∵∠A=∠A
∴△ABC∽△ADB
∴BC/BD=2/3
10/BD=2/3
∴BD=15

Answer 2

由内角平分线定理：ac:bc=ae:be
又有AC=8cm,AB=12cm,BC=10cm
所以ae=16/3，be=20/3
所以有勾股定理：
ce=50根号2/3
又有BD‖CE
所以bd：ce=ab:ae
所以bd=150根号2/4

追问

这里没有直角呀。。

Answer 3

因为CE平行BD，
所以角ECB等于角CBD，角ACE等于角D。
又因为CE平分角ACB，
所以角ACE等于角BCE。
所以角D等于角CBD。
所以BC=BD=10cm。
所以AD=AC+CD=18。
所以BD的平方等于324+144=468。
BD=2倍根号下117。.

追问

这里没有直角呀。。

Answer 4

额

Answer 5

解：∵ED∥BD，∴∠ACE=∠D，∠BCE=∠CBD，∵∠ACE=∠BCE，∴∠CBD=∠D，
∴CB=CD，∵CE平分∠ACB，∴AE/EB=AC/CB=8/10=4/5，即8/CD=4/5，
解得：CD=10，解毕。

追问

后面呢？？题目是问BD的长度

Answer 6

先证明△ACE∽△ADB
得到∠CBD=∠D，说明△CBD是等腰三角形，CD=BC=10
相似比：AC ：AD=8 ：18=1 ：6
可求出AE
通过cos∠ACE=cos∠BCE求出CE，最后根据相似比得到BD

余弦定理证明方法：
平面几何证法
　　在任意△ABC中 　　作AB⊥BC. 　　
设∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 　　
则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 　　
根据勾股定理可得： 　　
AC^2=AD^2+DC^2 　　
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 　　
b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2 　　
b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2 　　
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB 　　cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac