Question

在△ABC中,∠ABC=60°，AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB,试猜想AC的长度与AE+CD的关系，并证明。

谢谢各位了，请火速

Answer 1

关系满足AC=AE+CD，证明如下：
设O为AD、CE的交点。
在AC上取AH=AE。
则由SAS易知△AEO≌△AHO
∵∠ABC=60°
∴0.5(∠ACB+∠BAC)=0.5*120°=60°（三角形内角和180°）
即∠AOE=0.5(∠ACB+∠BAC)=60°（三角形一个角的外角为不相邻内角之和）
∴∠AOH=∠AOE=60°（△AEO≌△AHO）
∴∠COD=∠AOE=60°（对顶角相等），∠COH=180°-∠AOE-∠AOH=60°
即∠COD=∠COH
由ASA，得：△CDO≌△CHO
∴CD=CH
∴AC=AH+CH=AE+CD

Answer 2

从三角形内心着手

Answer 3

AC=AE+CD
两条角平分线交点是内切圆圆心，作内切圆，切△ABC与D,E,F（F在AC上）
由角平分线性质得：AE=AF;CD=CF
又因为AF+CF=AC
所以AC=AE+CD