Question

设a，b，c，d是不全为零的实数，证明齐次线性方程组（见下面的问题补充）只有零解。

ax1+bx2+cx3+dx4=0，
bx1 -ax2+dx3 -cx4=0，
cx1 -dx2 -ax3+bx4=0，
dx1+cx2 -bx3 -ax4=0。
请具体写出增广矩阵的计算过程。

Answer 1

证明系数行列式不等于0就可以了啊，不用增广矩阵。

a b c d

D=b -a d -c

c -d -a b

d c -b -a

D²=DD^T=

a b c d a b c d

b -a d -c × b -a -d c =

c -d -a b c d -a -b

d c -b -a d -c b -a

a²+b²+c²+d² 0 0 0

0 a²+b²+c²+d² 0 0

0 0 a²+b²+c²+d² 0

0 0 0 a²+b²+c²+d²

=(a²+b²+c²+d² )^4≠0

所以该齐次方程只有零解。

行列式

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或｜A |。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

Answer 2

齐次线性方程组只有零解
<==>系数行列式
|a b c d|
|b -a d -c|
|c -d -a b|
|d c -b -a|≠0，事实上，按第一行展开，它=a*
|-a d -c|
|-d -a b|
|c -b -a|-b*
|b d -c|
|c -a b|
|d -b -a|+c*
|b -a -c|
|c -d b|
|d c -a|-d*
|b -a d |
|c -d -a |
|d c -b |
=a(-a^3-ac^2-ad^2-ab^2)
-b(a^2b+bc^2+bd^2+b^3)
+c(-c^3-cd^2-b^2c-a^2c)
-d(b^2d+a^2d+c^2d+d^3)
=-(a^4+b^4+c^4+d^4+2a^2b^2+2a^2c^2+2a^2d^2+2b^2c^2+2b^2d^2+2c^2d^2)
=-（a^2+b^2+c^2+d^2)^2<0.
∴命题成立。

Answer 3

证明系数行列式不等于0就可以了啊，不用增广矩阵吧
a b c d
D=b -a d -c
c -d -a b
d c -b -a
D²=DD^T=
a b c d a b c d
b -a d -c × b -a -d c =
c -d -a b c d -a -b
d c -b -a d -c b -a
a²+b²+c²+d² 0 0 0
0 a²+b²+c²+d² 0 0
0 0 a²+b²+c²+d² 0
0 0 0 a²+b²+c²+d²
=(a²+b²+c²+d² )^4≠0
所以该齐次方程只有零解

追问

的确不用增广矩阵，不好意思，提问疏忽了，但是想问一下亲，为什么D²=DD^T

追答

因为行列式与它的转置行列式相等啊，所以D=D^T
那么D²=DD^T

追问

圈出来的部分不相等啊。

追答

是不相等啊，后面一个是转置行列式啊
行列式是一个值，所以行列式的相等是值的相等，不是说对应元素都相等
矩阵的相等才需要对应元素都相等

追问

很明显D和D^T不相等嘛，第二行第2、3个元素，第三行的第2、4个，第四行的第2、3个，应该是|D||D^T|≠0，所以|D|≠0，且|D^T|≠0吧。